Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Д о м а ш н е е з а д а н и е
Определить типы уравнений.
3.7.
U
t
= a
2
U
xx
. О т в е т: параболический тип в R
2
.
3.8.
U
tt
= a
2
4U, 4U = U
xx
+ U
yy
+ U
zz
.
О т в е т: гиперболический тип в R
4
.
3.9.
U
xx
+ 2U
xy
− 3U
yy
+ 2U
x
+ 6U
y
= 0.
О т в е т: гиперболический тип в R
2
.
3.10.
U
xx
+ 3U
xy
+ U
yy
+ U
x
= 0. О т в е т: гиперболический тип в R
2
.
Привести к каноническому виду и определить типы уравнений.
3.11.
U
xx
+ 2U
xy
− 2U
xz
+ 2U
yy
+ 2U
zz
= 0.
О т в е т: U
ξξ
+ U
ηη
= 0, параболический тип; ξ = x, η = y − x,
ζ = 2x − y + z.
3.12.
U
xx
+ 2U
xy
− 4U
xz
− 6U
yz
− U
zz
= 0.
О т в е т:
U
ξξ
− U
ηη
− U
ζζ
= 0, гиперболический тип; ξ = x, η = y − x,
ζ = 3x/2 − y/2 + z/2.
3.13.
U
xx
+ 2U
xy
+ 2U
yy
+ 2U
yz
+ 2U
yt
+ 2U
zz
+ 3U
tt
= 0.
О т в е т:
U
ξξ
+ U
ηη
+ U
ζζ
+ U
ττ
= 0, эллиптический тип; ξ = x, η = y − x,
ζ = x − y + z,τ = 2x − 2y + z + t.
3.14.
U
xy
− U
xt
+ U
zz
− 2U
zt
+ 2U
tt
= 0.
О т в е т:
U
ξξ
−U
ηη
+U
ζζ
+U
ττ
= 0
, гиперболический тип; ξ
= x+
y, η
=
y
−x
,
ζ = z, τ = y + z + t.
3.15.
U
xy
+ U
xz
+ U
xt
+ U
zt
= 0.
О т в е т:
U
ξξ
−U
ηη
+ U
ζζ
−U
ττ
= 0, ультрагиперболический тип; ξ = x + y,
η = x − y, ζ = −2y + z + t, τ = z − t.
20
              Д о м а ш н е е          з а д а н и е

     Определить типы уравнений.
     3.7.
     Ut = a2 Uxx . О т в е т: параболический тип в R2 .
     3.8.
     Utt = a2 4U, 4U = Uxx + Uyy + Uzz .
     О т в е т: гиперболический тип в R4 .
     3.9.
     Uxx + 2Uxy − 3Uyy + 2Ux + 6Uy = 0.
     О т в е т: гиперболический тип в R2 .
     3.10.
     Uxx + 3Uxy + Uyy + Ux = 0. О т в е т: гиперболический тип в R2 .

     Привести к каноническому виду и определить типы уравнений.
     3.11.
     Uxx + 2Uxy − 2Uxz + 2Uyy + 2Uzz = 0.
     О т в е т: Uξξ + Uηη = 0, параболический тип; ξ = x, η = y − x,
ζ = 2x − y + z.
     3.12.
     Uxx + 2Uxy − 4Uxz − 6Uyz − Uzz = 0.
     О т в е т:
     Uξξ − Uηη − Uζζ = 0, гиперболический тип; ξ = x, η = y − x,
ζ = 3x/2 − y/2 + z/2.
     3.13.
     Uxx + 2Uxy + 2Uyy + 2Uyz + 2Uyt + 2Uzz + 3Utt = 0.
     О т в е т:
     Uξξ + Uηη + Uζζ + Uτ τ = 0, эллиптический тип; ξ = x, η = y − x,
ζ = x − y + z,τ = 2x − 2y + z + t.
     3.14.
     Uxy − Uxt + Uzz − 2Uzt + 2Utt = 0.
     О т в е т:
     Uξξ −Uηη +Uζζ +Uτ τ = 0, гиперболический тип; ξ = x+y, η = y −x,
ζ = z, τ = y + z + t.
     3.15.
     Uxy + Uxz + Uxt + Uzt = 0.
     О т в е т:
     Uξξ − Uηη + Uζζ − Uτ τ = 0, ультрагиперболический тип; ξ = x + y,
η = x − y, ζ = −2y + z + t, τ = z − t.




                                  20

Страницы