Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

матрицу
старших
коэффициентов уравнения (16), то она будет иметь
Подставляя (15) в уравнение (13), получим:
Приведем форму P к каноническому виду путем выделения пол-
ных квадратов. Представим форму P в виде
P = (2p
1
− p
2
)
2
− (p
2
+ p
3
)
2
+ p
2
3
.
Если теперь сделаем замену
(
q
1
= 2p
1
− p
2
q
2
= p
2
+ p
3
q
3
= p
3
,
форма P приведется к следующему каноническому виду
Q = q
2
1
− q
2
2
+ q
2
3
.
Выразим теперь p
1
, p
2
, p
3
через q
1
, q
2
, q
3
:
(
p
1
=
1
2
(q
1
+ q
2
− q
3
)
p
2
= q
2
− q
3
p
3
= q
3
.
Т
аким образом,
в силу (9) матрица B будет иметь вид:
B =
Ã
1
2
1
2
−
1
2
0
1 −1
0
0 1
!
, B
T
=
1
2
0
0
1
2
1
0
−
1
2
−1
1
.
Искомая
замена (11) запишется так (ξ = y
1
, η = y
2
, ζ = y
3
):
Ã
ε
η
ζ
!
= B
T
Ã
x
y
z
!
; ξ = x/2, η = x/2 + y, ζ = −x/2 −y + z. (14)
На основании (14) имеем:
U
x
= U
ξ
ξ
x
+ U
η
η
x
+ U
ζ
ζ
x
= U
ξ
/2 + U
η
/2 − U
ζ
/2 = (U
ξ
+ U
η
− U
ζ
)/2,
U
xx
= (U
x
)
x
= (U
ξξ
+ U
ηη
+ U
ζζ
)/4 + (U
ξη
− U
ξζ
− U
ηζ
)/2,
U
xy
= (U
x
)
y
= (U
ξη
+ U
ηη
− 2U
ηζ
− U
ξζ
+ U
ζζ
)/2,
U
y
= U
η
− U
ζ
,
U
yz
=
U
ηζ
−
U
ζζ
,
U
z
= U
ζ
.
U
ξξ
− U
ηη
+ U
ζζ
+ U
η
= 0.
Итак, в данном случае видно, что m = n = 3, r = 2, то есть урав-
нение (13) гиперболического типа в R
2
. Заметим, что если выписать
следующий вид:
18
(15)
(16)
     Приведем форму P к каноническому виду путем выделения пол-
ных квадратов. Представим форму P в виде

                            P = (2p1 − p2 )2 − (p2 + p3 )2 + p23 .
         Если теперь сделаем замену
                             (
                               q1 = 2p1 − p2
                               q 2 = p2 + p3
                               q 3 = p3 ,
         форма P приведется к следующему каноническому виду

                                        Q = q12 − q22 + q32 .
         Выразим теперь p1 , p2 , p3 через q1 , q2 , q3 :
                         (
                              p1 = 21 (q1 + q2 − q3 )
                              p2 = q2 − q3
                              p3 = q3 .
         Таким образом, в силу (9) матрица B будет иметь вид:
                 Ã 1 1                        1         
                           1 !                      0  0
                    2 2  − 2                   2
             B = 0 1 −1 ,              B T =  21   1 0 .
                    0 0 1                     − 21 −1 1
         Искомая замена (11) запишется так (ξ = y1 , η = y2 , ζ = y3 ):

 Ã       !          Ã       !
     ε                  x
     η       = BT       y       ;      ξ = x/2, η = x/2 + y, ζ = −x/2 − y + z. (14)
     ζ                  z
         На основании (14) имеем:
Ux       =   Uξ ξx + Uη ηx + Uζ ζx = Uξ /2 + Uη /2 − Uζ /2 = (Uξ + Uη − Uζ )/2,
Uxx      =   (Ux )x = (Uξξ + Uηη + Uζζ )/4 + (Uξη − Uξζ − Uηζ )/2,
Uxy      =   (Ux )y = (Uξη + Uηη − 2Uηζ − Uξζ + Uζζ )/2,
Uy       =   Uη − Uζ ,                                                   (15)
Uyz      =   Uηζ − Uζζ ,
Uz       =   Uζ .
         Подставляя (15) в уравнение (13), получим:

                                    Uξξ − Uηη + Uζζ + Uη = 0.                 (16)
Итак, в данном случае видно, что m = n = 3, r = 2, то есть урав-
нение (13) гиперболического типа в R2 . Заметим, что если выписать
матрицу старших коэффициентов уравнения (16), то она будет иметь
следующий вид:

                                                 18

Страницы