Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

,
надо в
силу (6)
где
p =
p
1
p
2
.
.
.
p
n
, q =
q
1
q
2
.
.
.
q
n
, B = kα
li
k
n
1
.
Преобразование (9) приводит форму (7) к виду
Q =
n
X
k,l=1
˜a
lk
(y
0
)q
l
q
k
.
Таким образом, чтобы упростить уравнение (1) в точке x
0
с помощью
замены переменных (2) достаточно упростить в этой точке квадра-
тичную форму (7) с помощью линейного преобразования (8). В курсе
линейной алгебры доказывается, что всегда существует неособенное
преобразование (8), при котором квадратичная форма (7) принимает
канонический вид:
Q =
r
X
l=1
q
2
l
−
m
X
l=r+1
q
2
l
, m ≤ n (10)
Заметим, что любую квадратичную форму можно привести к канони-
ческому виду методом выделения полных квадратов.
Итак, чтобы упростить уравнение (1) в точке x
0
произвести линейную замену переменных
y
l
=
n
X
i=1
α
li
x
i
, l =
1,
n или y = B
T
x, (11)
где B
T
-
матрица, транспонированная к матрице B. Эта замена при-
водит уравнение (1) к виду
r
X
l=1
∂
2
U
∂
y
2
l
−
m
X
l=r+1
∂
2
U
∂
y
2
l
+
˜
Φ(y
, U, grad
y
U) = 0. (12)
Этот вид (12) называется каноническим видом уравнения (1).
На основании закона инерции квадратичных форм целые числа
r и m не зависят от преобразования (8). Это дает возможность клас-
сифицировать уравнение (1) в зависимости от значений, принимаемых
коэффициентами a
ij
в точке x
0
.
Определение 2. Если в квадратичной форме (10) m = n и все сла-
гаемые одного знака (то есть или r = m, или r = 0), то уравнение
(1) называется уравнением эллиптического типа; если m = n, а одно
слагаемое противоположно остальным по знаку (то есть r = 1 или
r = n −1) , то уравнение (1) - гиперболического типа; если m < n, а
m = n − 1 и r = 0 или r = n −1, то уравнение (1) - параболического
типа.
16
.
где                                   
               p1                    q1
              p2                  q2 
           p=     
              ...  ,           q=     
                                    ...  ,                  B = kαli kn1 .
               pn                    qn
Преобразование (9) приводит форму (7) к виду
                                 n
                                 X
                          Q=             ãlk (y 0 )ql qk .
                                 k,l=1

Таким образом, чтобы упростить уравнение (1) в точке x0 с помощью
замены переменных (2) достаточно упростить в этой точке квадра-
тичную форму (7) с помощью линейного преобразования (8). В курсе
линейной алгебры доказывается, что всегда существует неособенное
преобразование (8), при котором квадратичная форма (7) принимает
канонический вид:
                       Xr      Xm
                           2
                  Q=      ql −     ql2 , m ≤ n.               (10)
                         l=1        l=r+1

Заметим, что любую квадратичную форму можно привести к канони-
ческому виду методом выделения полных квадратов.
     Итак, чтобы упростить уравнение (1) в точке x0 , надо в силу (6)
произвести линейную замену переменных
                  n
                  X
             yl =   αli xi , l = 1, n или    y = B T x,          (11)
                   i=1

где B T - матрица, транспонированная к матрице B. Эта замена при-
водит уравнение (1) к виду
             r
             X            m
                          X
               ∂ 2U         ∂ 2U
                        −        + Φ̃(y, U, grady U ) = 0.                     (12)
                   ∂yl2     ∂yl2
             l=1         l=r+1
Этот вид (12) называется каноническим видом уравнения (1).
      На основании закона инерции квадратичных форм целые числа
r и m не зависят от преобразования (8). Это дает возможность клас-
сифицировать уравнение (1) в зависимости от значений, принимаемых
коэффициентами aij в точке x0 .
Определение 2. Если в квадратичной форме (10) m = n и все сла-
гаемые одного знака (то есть или r = m, или r = 0), то уравнение
(1) называется уравнением эллиптического типа; если m = n, а одно
слагаемое противоположно остальным по знаку (то есть r = 1 или
r = n − 1) , то уравнение (1) - гиперболического типа; если m < n, а
m = n − 1 и r = 0 или r = n − 1, то уравнение (1) - параболического
типа.

                                         16

Страницы