Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

.
∂
2
U
∂
x
i
∂x
j
=
∂
∂
x
j
(
∂U
∂
x
i
) =
=
n
X
k
,l=1
∂
2
U
∂
y
l
∂y
k
∂y
l
∂
x
i
∂y
k
∂
x
j
+
n
X
l=1
∂U
∂
y
l
∂
2
y
l
∂
x
i
∂x
j
.
По
дставляя выражения (3) в уравнение (1), получим
n
X
l,k=1
∂
2
U
∂
y
l
∂y
k
n
X
i,j=1
a
ij
∂
y
l
∂
x
i
∂y
k
∂
x
j
+
n
X
l=1
∂U
∂
y
l
n
X
i,j=1
a
ij
∂
2
y
l
∂
x
i
∂x
j
+Φ
∗
(
y, U, grad
y
U) = 0.
(4)
Обозначим через ˜a
lk
новые коэффициенты при вторых производных:
˜a
lk
(y) =
n
X
i,j=1
a
ij
(x)
∂y
l
∂
x
i
∂y
k
∂
x
j
(5)
и запишем
уравнение (4) в виде (1):
n
X
k,l=1
˜a
lk
(y)
∂
2
U
∂
y
l
∂y
k
+
˜
Φ(
y, U, grad
y
U) = 0.
Фиксируем точку x
0
и обозначим y
0
= y(x
0
), а
α
li
=
∂y
l
(x
0
)
∂
x
i
(6).
Тог
да формула (5) в точке x
0
запишется в виде
˜a
lk
(y
0
) =
n
X
i,j=1
a
ij
(x
0
)α
li
α
kj
.
Полученная формула преобразования коэффициентов a
ij
в точке x
0
совпадает с формулой преобразования коэффициентов квадратичной
формы
P =
n
X
i,j=1
a
ij
(x
0
)p
i
p
j
(7)
при неособенном линейном преобразовании
p
i
=
n
X
l=1
α
li
q
l
, det(α
li
) 6= 0, i =
1,
n (8)
Кратко
преобразование (8) можно записать в виде:
p = Bq, (9)
15
.
                        ∂ 2U      ∂ ∂U
                              =      (   )=
                     ∂xi ∂xj     ∂xj ∂xi
                  n
                  X                    n
                     ∂ 2 U ∂yl ∂yk X ∂U ∂ 2 yl
                =                   +                 .
                    ∂yl ∂yk ∂xi ∂xj       ∂yl ∂xi ∂xj
                     k,l=1                                   l=1

Подставляя выражения (3) в уравнение (1), получим
n
X            n              n        n
   ∂ 2U X          ∂yl ∂yk X ∂U X          ∂ 2 yl
               aij        +            aij        +Φ∗ (y, U, grady U ) = 0.
  ∂yl ∂yk i,j=1 ∂xi ∂xj       ∂yl i,j=1 ∂xi ∂xj
l,k=1                                   l=1
                                                             (4)
Обозначим через ãlk новые коэффициенты при вторых производных:
                                              n
                                              X                 ∂yl ∂yk
                             ãlk (y) =               aij (x)                            (5)
                                              i,j=1
                                                                ∂xi ∂xj

и запишем уравнение (4) в виде (1):
                n
                X                 ∂ 2U
                        ãlk (y)         + Φ̃(y, U, grady U ) = 0.
                                 ∂yl ∂yk
                k,l=1

Фиксируем точку x0 и обозначим y 0 = y(x0 ), а
                                                      ∂yl (x0 )
                                         αli =                  .                        (6).
                                                       ∂xi
Тогда формула (5) в точке x0 запишется в виде
                                               n
                                               X
                                   0
                            ãlk (y ) =                aij (x0 )αli αkj .
                                               i,j=1

Полученная формула преобразования коэффициентов aij в точке x0
совпадает с формулой преобразования коэффициентов квадратичной
формы
                            Xn
                       P =     aij (x0 )pi pj               (7)
                                              i,j=1
при неособенном линейном преобразовании
                     n
                     X
              pi =           αli ql ,           det(αli ) 6= 0,             i = 1, n .   (8)
                      l=1

Кратко преобразование (8) можно записать в виде:
                                               p = Bq,                                   (9)

                                                      15

Страницы