Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

∆U =
−Q
k
,
U |
x
1
=0
= U |
x
2
=0
= 0
,
U
x
1
|
x
1
=a
= U
x
2
|
x
2
=b
= 0.
2.7. Поставить задачу об определении температуры в однород-
ном параллелепипеде с измерениями l, m, n, если его начальная тем-
пература является произвольной функцией x = (x
1
, x
2
, x
3
), а темпера-
тура поверхности поддерживается равной нулю.
О т в е т:
U
t
= a
2
(U
x
1
x
1
+ U
x
2
x
2
+ U
x
3
x
3
), a
2
=
k
cρ
,
U |
t=0
= ϕ(x),
U |
x
1
=0
= U |
x
1
=l
= U |
x
2
=0
= U |
x
2
=m
= U |
x
3
=0
= U |
x
3
=n
=
0
З А
Н Я Т И Е 3
Тема. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ
ВИДУ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ n ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим квазилинейное (линейное относительно старших
производных) дифференциальное уравнение вида
n
X
i,j=1
a
ij
(x)
∂
2
U
∂
x
i
∂x
j
+
Φ(x, U, grad U) = 0, (1)
где U(x) — неизвестная функция, x = (x
1
, x
2
, ....x
n
) ∈ R
n
,
a
ij
(x) ∈ C(Ω), Ω ⊂ R
n
, grad U
= (
∂U
∂
x
, , .
. . ,
)
,
Φ –
задан-
ная функция своих аргументов. Решение уравнения (1) будем счи-
тать принадлежащим классу C
2
(Ω). Обозначим через A(x) функци-
ональную матрицу с элементами a
ij
(x), A(x) = ka
ij
(x)k
n
1
. Эту мат-
рицу называют матрицей старших коэффициентов уравнения (1). За-
метим, что A(x) всегда можно считать симметрической матрицей, т.е.
a
ij
(x) = a
ji
(x).
13
.
∂U
∂
x
∂U
∂
x
1
2
n
                              −Q
                     ∆U =        , U |x1 =0 = U |x2 =0 = 0,
                               k
                           Ux1 |x1 =a = Ux2 |x2 =b = 0.
     2.7. Поставить задачу об определении температуры в однород-
ном параллелепипеде с измерениями l, m, n, если его начальная тем-
пература является произвольной функцией x = (x1 , x2 , x3 ), а темпера-
тура поверхности поддерживается равной нулю.
     О т в е т:
                                                                 k
               Ut = a2 (Ux1 x1 + Ux2 x2 + Ux3 x3 ),       a2 =      ,
                                                                 cρ

                                 U |t=0 = ϕ(x),


       U |x1 =0 = U |x1 =l = U |x2 =0 = U |x2 =m = U |x3 =0 = U |x3 =n = 0 .




                    ЗАНЯТИЕ3
Тема. КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ
ВИДУ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
       ВТОРОГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ n ПЕРЕМЕННЫХ

     Рассмотрим квазилинейное (линейное относительно старших
производных) дифференциальное уравнение вида
                 n
                 X              ∂ 2U
                       aij (x)           + Φ(x, U, grad U ) = 0,               (1)
                 i,j=1
                               ∂x i ∂x j

где U (x) — неизвестная функция, x = (x1 , x2 , ....xn ) ∈ Rn ,
                                           ∂U
aij (x) ∈ C(Ω), Ω ⊂ Rn , grad U = ( ∂U ,       , . . . ,
                                                         ∂U )
                                                               Φ – задан-
                                       ∂x1 ∂x2           ∂xn ,
ная функция своих аргументов. Решение уравнения (1) будем счи-
тать принадлежащим классу C 2 (Ω). Обозначим через A(x) функци-
ональную матрицу с элементами aij (x), A(x) = kaij (x)kn1 . Эту мат-
рицу называют матрицей старших коэффициентов уравнения (1). За-
метим, что A(x) всегда можно считать симметрической матрицей, т.е.
aij (x) = aji (x).


                                       13

Страницы