Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Пу
сть A(
x
0
) =k a
ij
(x
0
) k
n
1
– постоянная матрица, которая явля-
ется значением матрицы A(x) в некоторой точке x
0
∈ Ω. Тогда соб-
ственные значения такой матрицы определяются как корни уравнения
det(A(x
0
) − λE) = 0,
где E — единичная матрица.
Определение 1. Пусть n
+
— число положительных, n
−
— число
отрицательных, n
0
— число нулевых собственных значений матри-
цы A(x
0
) (n = n
+
+n
−
+n
0
). Тогда говорят, что уравнение (1) имеет
тип (n
+
, n
−
, n
0
) в точке x
0
.
Уравнение (1) принадлежит типу (n
+
, n
−
, n
0
) на некотором мно-
жестве, если оно принадлежит этому типу в каждой точке данного
множества.
Замечание 1. Если изменить знаки всех членов уравнения (1), то
матрица A(x
0
) заменится на матрицу −A(x
0
), и собственные значения
матрицы −A(x
0
) будут отличаться от собственных значений матрицы
A(x
0
) только знаком, т.е. числа n
+
, n
−
поменяются только местами.
Типы (n
+
, n
−
, n
0
) и (n
−
, n
+
, n
0
) поэтому будем считать тождествен-
ными, то есть (n
+
, n
−
, n
0
) ≡ (n
−
, n
+
, n
0
).
Замечание 2. Если уравнение (1) имеет постоянные коэффициенты,
то можно говорить о типе уравнения во всем пространстве R
n
.
Среди всех уравнений в математической физике выделяется три
основных типа уравнений в R
n
. 1). Тип (n, 0, 0) ≡ (0, n, 0) называ-
ется эллиптическим. 2). Тип (n − 1, 1, 0) ≡ (1, n − 1, 0) называет-
ся гиперболическим. 3). Тип (n − 1, 0, 1) ≡ (0, n − 1, 1) называется
параболическим. Отметим также, что уравнения типа (n − r, r, 0) ≡
(r, n − r, 0), r > 1, называются ультрагиперболическими уравнения-
ми.
Переходим теперь к задаче приведения уравнения (1) к кано-
ническому виду. Поставим такую задачу: упростить уравнение (1) с
помощью замены независимых переменных. Пусть
y = y(x) или y
l
= y
l
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), l =
1,
n. (2)
Кроме того,
потребуем, чтобы y
l
∈ C
2
(Ω) и чтобы detJ(x) 6= 0, где
J(x) = k
∂y
l
∂
x
i
k
n
1
- матрица
Якоби.
Так как detJ(x) 6= 0, то в некоторой окрестности можно вы-
разить переменные x через переменные y : x = x(y). Обозначим
U(x(y)) =
˜
U(y), тогда
˜
U(y(x)) = U(x). Для удобства не меняем обо-
значения функции.
∂U
∂
x
i
=
n
X
l=1
∂U
∂
y
l
∂y
l
∂
x
i
, (3)
14
      Пусть A(x0 ) =k aij (x0 ) kn1 – постоянная матрица, которая явля-
ется значением матрицы A(x) в некоторой точке x0 ∈ Ω. Тогда соб-
ственные значения такой матрицы определяются как корни уравнения

                      det(A(x0 ) − λE) = 0,
где E — единичная матрица.
Определение 1. Пусть n+ — число положительных, n− — число
отрицательных, n0 — число нулевых собственных значений матри-
цы A(x0 ) (n = n+ + n− + n0 ). Тогда говорят, что уравнение (1) имеет
тип (n+ , n− , n0 ) в точке x0 .
      Уравнение (1) принадлежит типу (n+ , n− , n0 ) на некотором мно-
жестве, если оно принадлежит этому типу в каждой точке данного
множества.
Замечание 1. Если изменить знаки всех членов уравнения (1), то
матрица A(x0 ) заменится на матрицу −A(x0 ), и собственные значения
матрицы −A(x0 ) будут отличаться от собственных значений матрицы
A(x0 ) только знаком, т.е. числа n+ , n− поменяются только местами.
Типы (n+ , n− , n0 ) и (n− , n+ , n0 ) поэтому будем считать тождествен-
ными, то есть (n+ , n− , n0 ) ≡ (n− , n+ , n0 ).
Замечание 2. Если уравнение (1) имеет постоянные коэффициенты,
то можно говорить о типе уравнения во всем пространстве Rn .

      Среди всех уравнений в математической физике выделяется три
основных типа уравнений в Rn . 1). Тип (n, 0, 0) ≡ (0, n, 0) называ-
ется эллиптическим. 2). Тип (n − 1, 1, 0) ≡ (1, n − 1, 0) называет-
ся гиперболическим. 3). Тип (n − 1, 0, 1) ≡ (0, n − 1, 1) называется
параболическим. Отметим также, что уравнения типа (n − r, r, 0) ≡
(r, n − r, 0), r > 1, называются ультрагиперболическими уравнения-
ми.
      Переходим теперь к задаче приведения уравнения (1) к кано-
ническому виду. Поставим такую задачу: упростить уравнение (1) с
помощью замены независимых переменных. Пусть
             y = y(x) или yl = yl (x1 , x2 , . . . , xn ), l = 1, n.   (2)
Кроме того, потребуем, чтобы yl ∈ C 2 (Ω) и чтобы detJ(x) 6= 0, где
         ∂y
J(x) = k l kn1 - матрица Якоби.
         ∂xi
      Так как detJ(x) 6= 0, то в некоторой окрестности можно вы-
разить переменные x через переменные y : x = x(y). Обозначим
U (x(y)) = Ũ (y), тогда Ũ (y(x)) = U (x). Для удобства не меняем обо-
значения функции.
                                      n
                                   X ∂U ∂yl
                             ∂U
                                 =           ,                         (3)
                             ∂xi     ∂yl ∂xi
                                     l=1

                                       14

Страницы