Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В итоге
учесть,
что через
сечение x = 0 поступает поток тепла, определяемый
законом Ньютона по формуле (2)
∆Q
3
= α[U
1
(t) − U(0, t)]S∆t,
где U
1
(t) - температура окружающей среды у конца x = 0
получим следующие граничные условия:
U
x
(0, t) = h
1
[U(0, t) − U
1
(t)],
U
x
(l, t) = −h
2
[U(l, t) − U
2
(t)],
где h
1
=
0
, h
2
=
α
k
(
l
)
2.2. На
боковой
поверхности однородного стержня длины l про-
исходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура кото-
рой является заданной функцией времени. Поставить задачу об опре-
делении температуры в стержне, если его начальная температура из-
вестна, а на концы подаются заданные тепловые потоки.
У к а з а н и е. При выводе уравнения учесть поток тепла
через боковую поверхность, определяемый законом Ньютона.
О т в е т:
U
t
= a
2
Uxx +
αp[U
0
(t) − U]
cρS
,
г
де p - периметр
поперечного сечения стержня, U
0
(t) - температура
окружающей среды, U |
t=0
= ϕ(x), U
x
|
x=0
=
, U
x
|
x=l
=
q
2
(
t)
k
S
.
2.3. Дана тонк
ая однородная прямоугольная пластинка со сто-
ронами l и m, для которой известно начальное распределение тем-
пературы. Основания пластинки теплоизолированы, а на границе под-
держивается заданная температура. Поставить задачу об определении
температуры этой пластинки. Рассмотреть частный случай, когда тем-
пература не зависит от времени (стационарное тепловое поле).
У к а з а н и е. Ввиду малой толщины пластинки (высота h
мала) можно предполагать, что температура U(x
1
, x
2
, t) не зависит от
x
3
. Для вывода уравнения выделяем внутри пластинки элементарный
параллелепипед с измерениями ∆x
1
, ∆x
2
, h и проводим рассуждения,
аналогичные рассуждениям задачи 2.1.
О т в е т:
U
t
= a
2
(U
x
1
x
1
+U
x
2
x
2
), a
2
=
k
cρ
,
x = (
x
1
, x
2
) ∈ Ω = (0, l)×(0, m), t ∈ (0, ∞),
U |
t=0
= ϕ(x), x ∈
¯
Ω = [0, l] × [0, m];
U |
x
1
=0
= µ
1
(x
2
, t), U |
x
1
=l
= µ
2
(x
2
, t), x
2
∈ [0, m],
11
.
q
1
(
t)
k
S
−
α
k
( )
учесть, что через сечение x = 0 поступает поток тепла, определяемый
законом Ньютона по формуле (2)

                        ∆Q3 = α[U1 (t) − U (0, t)]S∆t,
где U1 (t) - температура окружающей среды у конца x = 0 .
     В итоге получим следующие граничные условия:

                         Ux (0, t) = h1 [U (0, t) − U1 (t)],
                      Ux (l, t) = −h2 [U (l, t) − U2 (t)],
          α           α
где h1 =      , h2 =
         k(0)        k( l )
      2.2. На боковой поверхности однородного стержня длины l про-
исходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура кото-
рой является заданной функцией времени. Поставить задачу об опре-
делении температуры в стержне, если его начальная температура из-
вестна, а на концы подаются заданные тепловые потоки.
      У к а з а н и е. При выводе уравнения учесть поток тепла
через боковую поверхность, определяемый законом Ньютона.
      О т в е т:
                                       αp[U0 (t) − U ]
                       Ut = a2 U xx +                   ,
                                              cρS
где p - периметр поперечного сечения стержня, U0 (t) - температура
                                           q                 q
окружающей среды, U |t=0 = ϕ(x), Ux |x=0 =− 1 (t) , Ux |x=l = 2 (t) .
                                           kS                 kS
      2.3. Дана тонкая однородная прямоугольная пластинка со сто-
ронами l и m, для которой известно начальное распределение тем-
пературы. Основания пластинки теплоизолированы, а на границе под-
держивается заданная температура. Поставить задачу об определении
температуры этой пластинки. Рассмотреть частный случай, когда тем-
пература не зависит от времени (стационарное тепловое поле).
      У к а з а н и е. Ввиду малой толщины пластинки (высота h
мала) можно предполагать, что температура U (x1 , x2 , t) не зависит от
x3 . Для вывода уравнения выделяем внутри пластинки элементарный
параллелепипед с измерениями ∆x1 , ∆x2 , h и проводим рассуждения,
аналогичные рассуждениям задачи 2.1.
      О т в е т:
                               k
Ut = a2 (Ux1 x1 +Ux2 x2 ), a2 = , x = (x1 , x2 ) ∈ Ω = (0, l)×(0, m), t ∈ (0, ∞),
                               cρ

                 U |t=0 = ϕ(x),          x ∈ Ω̄ = [0, l] × [0, m];


          U |x1 =0 = µ1 (x2 , t), U |x1 =l = µ2 (x2 , t),      x2 ∈ [0, m],

                                          11

Страницы