Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4Q =
∆Q
1
+∆
Q
2
= −k(x)
∂U(x, t)
∂
n
1
S∆t
−k(x+∆x)
∂U(x + ∆x, t)
∂
n
2
S∆t =
=
[k(x + ∆x)
∂U(x + ∆x, t)
∂
x
− k(x)
∂
U(x, t)
∂
x
]S∆t,
при
этом мы учли, что направление нормалей ~n
2
и ~n
1
соответствен-
но противоположно и совпадает с направлением оси x. По закону
сохранения энергии то же количество тепла можно выразить через
приращение температуры по формуле (1):
∆Q
3
= c(x)ρ(x)S∆x[U(x, t + ∆t) − U(x, t)]
Приравнивая ∆Q и ∆Q
3
, сокращая на S∆x∆t и переходя к пре-
делу при ∆x, ∆t → 0, получим уравнение теплопроводности:
c(x)ρ(x)
∂U(x, t)
∂
t
=
∂
∂
x
[k(x
)
∂U(x, t)
∂
x
], 0 <
x < l, t > 0 (3
0
)
Если стержень однородный, то k, c, ρ − const, и уравнение при-
нимает вид:
U
t
= a
2
U
xx
, a
2
=
k
cρ
4.
Начальное
условие имеет вид:
U(x, 0) = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ l,
где ϕ(x)-заданная функция.
Запишем граничные условия:
а) U(0, t)= µ
1
(t), U(l, t) = µ
2
(t), t ≥ 0, где µ
1
, µ - температуры
концов стержня (µ
1
(0) = ϕ(0), µ
2
(0) = ϕ(l))
б) Для граничных элементов [0, ∆x], [l −∆x, l] проводим рассуж-
дения, использованные при выводе уравнения (3
0
).
Пусть q
1
(t), q
2
(t) - заданные тепловые потоки на концах x = 0 и
x = l соответственно (q
1
(t)- количество тепла, поступающее в единицу
времени через сечение x = 0). Тогда для граничного элемента [0, ∆x]
закон сохранения энергии дает
q
1
(t)∆t+k(∆x)U
x
(∆x, t)S∆t = c(0)ρ(0)S∆x[U(0, t+∆t)−U(0, t)] (4)
Поделим (4) на ∆t и перейдем к пределу при ∆x, ∆t → 0, тогда
получим U
x
(0, t) =
−
q
1
(t)
k(0)S
.
Проведя
аналогичные рассуждения
для конца x = l, будем иметь
U
x
(l, t) =
в)
В этом
случае поступаем аналогично случаю б), с той лишь
разницей, что при записи баланса тепла для элемента [0, ∆x] нужно
10
,
.
2
.
.
−
q
2
(t)
.
k
S
(
l
)
                              ∂U (x, t)             ∂U (x + ∆x, t)
4Q = ∆Q1 +∆Q2 = −k(x)                   S∆t−k(x+∆x)                S∆t =
                                ∂n1                      ∂n2
                       ∂U (x + ∆x, t)        ∂U (x, t)
              = [k(x + ∆x)            − k(x)           ]S∆t,
                             ∂x                ∂x
при этом мы учли, что направление нормалей n~2 и n~1 соответствен-
но противоположно и совпадает с направлением оси x. По закону
сохранения энергии то же количество тепла можно выразить через
приращение температуры по формуле (1):

            ∆Q3 = c(x)ρ(x)S∆x[U (x, t + ∆t) − U (x, t)] ,
     Приравнивая ∆Q и ∆Q3 , сокращая на S∆x∆t и переходя к пре-
делу при ∆x, ∆t → 0, получим уравнение теплопроводности:
          ∂U (x, t)   ∂        ∂U (x, t)
   c(x)ρ(x)         =    [k(x)           ],    0 < x < l, t > 0 (30 )
             ∂t       ∂x          ∂x
     Если стержень однородный, то k, c, ρ − const, и уравнение при-
нимает вид:
                                             k
                          Ut = a2 Uxx , a2 =    .
                                             cρ
     4. Начальное условие имеет вид:
                       U (x, 0) = ϕ(x),      0 ≤ x ≤ l,
где ϕ(x)-заданная функция.
       Запишем граничные условия:
       а) U (0, t) = µ1 (t), U (l, t) = µ2 (t), t ≥ 0, где µ1 , µ2 - температуры
концов стержня (µ1 (0) = ϕ(0), µ2 (0) = ϕ(l)).
       б) Для граничных элементов [0, ∆x], [l − ∆x, l] проводим рассуж-
дения, использованные при выводе уравнения (30 ).
       Пусть q1 (t), q2 (t) - заданные тепловые потоки на концах x = 0 и
x = l соответственно (q1 (t)- количество тепла, поступающее в единицу
времени через сечение x = 0). Тогда для граничного элемента [0, ∆x]
закон сохранения энергии дает
 q1 (t)∆t+k(∆x)Ux (∆x, t)S∆t = c(0)ρ(0)S∆x[U (0, t+∆t)−U (0, t)]. (4)
        Поделим (4) на ∆t и перейдем к пределу при ∆x, ∆t → 0, тогда
                       q (t)
получим Ux (0, t) = − 1 .
                     k(0)S
        Проведя аналогичные рассуждения для конца x = l, будем иметь
            −q (t)
Ux (l, t) = 2 .
            k (l ) S
        в) В этом случае поступаем аналогично случаю б), с той лишь
разницей, что при записи баланса тепла для элемента [0, ∆x] нужно

                                      10

Страницы