Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

l
h
и
граничные у
словия задачи о малых поперечных колебаниях струны,
О т в е т:
U
tt
= a
2
U
xx
, U |
t=0
= U
t
|
t=0
= 0, U |
x=0
= µ(t), U
x
|
x=l
=
Φ(t)
E
S
.
1.8. Однородная
струна длиной l натянута между точками x = 0
и x = l. В точке x = c струна оттягивается на небольшое расстояние
h и в момент t = 0 отпускается без начальной скорости. Сформули-
ровать начальные и граничные условия задачи о малых поперечных
колебаниях этой струны.
У к а з а н и е. Уравнение поперечных колебаний струны
относительно отклонения U(x, t) от положения равновесия струны с
абсциссой x в момент t выводится на лекции и имеет вид (1
0
), где
a
2
=
ρ
,
T
0
– величина
силы натяжения.
О т в е т:
U(x, o) =
½
hx
c
,
0 ≤ x ≤ c,
(x
−
l
)
c
−
,
c ≤ x ≤ l,
U
t
|
t=0
=
0, U |
x=0
= U |
x=l
= 0
1.9. Точкам однородной струны длины l в момент t = 0 сообща-
ются начальные отклонения и скорости. Сформулировать начальные
если концы струны: а) свободны, т.е. могут свободно перемещаться
по прямым, параллельным направлению отклонения; б) закреплены
упруго.
О т в е т:
U |
t=0
= ϕ(x), U
t
|
t=0
= ψ(x),
а)U
x
|
x=0
= U
x
|
x=l
= 0,
б)(U
x
− hU) |
x=0
= 0, (U
x
+ hU) |
x=l
= 0, h =
k
T
0
.
З
А Н
Я Т И Е 2
Тема. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА)
Пусть твердое изотропное тело неравномерно нагрето, тогда,
благодаря теплопроводности, в нем будет происходить движение тепла
от более нагретых частей к менее нагретым. Примем следующую мо-
дель процесса: происходит механический перенос тепла (тепло распро-
страняется подобно движению жидкости), все тепло идет на измене-
ние температуры, свойства тела от температуры не зависят. Основной
характеристикой этого процесса является температура U(x, t) точки
x = (x
1
, x
2
, x
3
) в момент t.
8
T
0
     О т в е т:
                                                         Φ(t)
    Utt = a2 Uxx , U |t=0 = Ut |t=0 = 0, U |x=0 = µ(t), Ux |x=l =
                                                              .
                                                         ES
      1.8. Однородная струна длиной l натянута между точками x = 0
и x = l. В точке x = c струна оттягивается на небольшое расстояние
h и в момент t = 0 отпускается без начальной скорости. Сформули-
ровать начальные и граничные условия задачи о малых поперечных
колебаниях этой струны.
      У к а з а н и е. Уравнение поперечных колебаний струны
относительно отклонения U (x, t) от положения равновесия струны с
абсциссой x в момент t выводится на лекции и имеет вид (10 ), где
a2 = Tρ0, T0 – величина силы натяжения.
     О т в е т:                  ½ hx
                                     ,
                                   c       0 ≤ x ≤ c,
                    U (x, o) =    h(x−l) , c ≤ x ≤ l,
                                   c−l
     Ut |t=0 = 0, U |x=0 = U |x=l = 0

     1.9. Точкам однородной струны длины l в момент t = 0 сообща-
ются начальные отклонения и скорости. Сформулировать начальные
и граничные условия задачи о малых поперечных колебаниях струны,
если концы струны: а) свободны, т.е. могут свободно перемещаться
по прямым, параллельным направлению отклонения; б) закреплены
упруго.
     О т в е т:
     U |t=0 = ϕ(x), Ut |t=0 = ψ(x),
     а)Ux |x=0 = Ux |x=l = 0,
     б)(Ux − hU ) |x=0 = 0, (Ux + hU ) |x=l = 0, h = Tk0 .



                               ЗАНЯТИЕ2
      Тема. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
                       МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
                (ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА)
     Пусть твердое изотропное тело неравномерно нагрето, тогда,
благодаря теплопроводности, в нем будет происходить движение тепла
от более нагретых частей к менее нагретым. Примем следующую мо-
дель процесса: происходит механический перенос тепла (тепло распро-
страняется подобно движению жидкости), все тепло идет на измене-
ние температуры, свойства тела от температуры не зависят. Основной
характеристикой этого процесса является температура U (x, t) точки
x = (x1 , x2 , x3 ) в момент t.

                                        8

Страницы