Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

c) при выводе граничных условий в данном случае применяют
а)
так
как в случае жесткого закрепления отклонения концов не
происходит, то
U(0, t) = 0, U(l, t) = 0, t ≥ 0, ϕ(0) = ϕ(l) = 0 (3a)
b)U(0, t) = µ
1
(t), U(l, t) = µ
2
(t)(µ
1
(0) = ϕ(0), µ
2
(0) = ϕ(l)) (3b);
к граничным элементам [0, ∆x], [l −∆x, l] рассуждения, используемые
при выводе уравнения (1
0
). На конце x = 0 равнодействующая упру-
гих сил равна T (∆x, t) = ESU
x
(∆x, t) , сила инерции −ρS∆xU
tt
(0, t).
Приравнивая нулю сумму всех сил, действующих на участок [0, ∆x],
в пределе при ∆x → 0 имеем U
x
(0, t) = 0. Проводя аналогичные рас-
суждения для конца x = l, получим
U
x
(0, t) = 0, U
x
(l, t) = 0 (3c)
d) в случае упругого закрепления конца x = 0 нужно учесть, что
со стороны упругой заделки на конец x = 0 действует сила −kU(0, t),
где k - коэффициент упругости заделки. Рассуждая аналогично в),
получим
U
x
(0, t) − hU(0, t) = 0, U
x
(l, t) + hU(l, t) = 0, h =
k
E
S
. (3d
)
Итак, задача о малых продольных колебаниях стержня привела
нас к следующей задаче математической физики: в области Q
∞
=
[0, l] × [0, ∞) найти функцию U(x, t), удовлетворяющую уравнению
(1
0
), начальным условиям (2), граничному условию одного из видов
(3a), (3b), (3c), (3d).
1.2. Составить уравнение продольных колебаний стержня с пере-
менной площадью поперечного сечения S(x), считая материал стерж-
ня однородным.
О т в е т:
S(x)
∂
2
U
∂
t
2
= a
2
∂
∂
x
[S(x
)
∂U
∂
x
],
a
2
=
E
ρ
.
1.3. На
упругий о
днородный прямолинейный стержень, один ко-
нец которого жестко закреплен, а другой свободен, действует внешняя
сила, направленная вдоль оси стержня, причем объемная плотность
ее равна p(x, t). Поставить задачу о малых продольных колебаниях
стержня, если при t = 0 поперечные сечения были неподвижны и на-
ходились в неотклоненном положении.
О т в е т:
U
tt
= a
2
U
xx
+ g(x, t), g(x, t) =
p(x, t)
ρ
,
6
;
;
;
     а) так как в случае жесткого закрепления отклонения концов не
происходит, то
             U (0, t) = 0, U (l, t) = 0, t ≥ 0, ϕ(0) = ϕ(l) = 0 ;            (3a)


   b)U (0, t) = µ1 (t), U (l, t) = µ2 (t)(µ1 (0) = ϕ(0), µ2 (0) = ϕ(l));     (3b);
      c) при выводе граничных условий в данном случае применяют
к граничным элементам [0, ∆x], [l − ∆x, l] рассуждения, используемые
при выводе уравнения (10 ). На конце x = 0 равнодействующая упру-
гих сил равна T (∆x, t) = ESUx (∆x, t) , сила инерции −ρS∆xUtt (0, t).
Приравнивая нулю сумму всех сил, действующих на участок [0, ∆x],
в пределе при ∆x → 0 имеем Ux (0, t) = 0. Проводя аналогичные рас-
суждения для конца x = l, получим
                          Ux (0, t) = 0, Ux (l, t) = 0;                      (3c)
      d) в случае упругого закрепления конца x = 0 нужно учесть, что
со стороны упругой заделки на конец x = 0 действует сила −kU (0, t),
где k - коэффициент упругости заделки. Рассуждая аналогично в),
получим
                                                                       k
        Ux (0, t) − hU (0, t) = 0, Ux (l, t) + hU (l, t) = 0, h =        .   (3d)
                                                                      ES
       Итак, задача о малых продольных колебаниях стержня привела
нас к следующей задаче математической физики: в области Q∞ =
[0, l] × [0, ∞) найти функцию U (x, t), удовлетворяющую уравнению
(10 ), начальным условиям (2), граничному условию одного из видов
(3a), (3b), (3c), (3d).
       1.2. Составить уравнение продольных колебаний стержня с пере-
менной площадью поперечного сечения S(x), считая материал стерж-
ня однородным.
       О т в е т:
                       ∂ 2U   ∂      ∂U 2 E
                   S(x) 2 = a2 [S(x)    ], a = .
                       ∂t     ∂x     ∂x       ρ
      1.3. На упругий однородный прямолинейный стержень, один ко-
нец которого жестко закреплен, а другой свободен, действует внешняя
сила, направленная вдоль оси стержня, причем объемная плотность
ее равна p(x, t). Поставить задачу о малых продольных колебаниях
стержня, если при t = 0 поперечные сечения были неподвижны и на-
ходились в неотклоненном положении.
      О т в е т:
                                                          p(x, t)
               Utt = a2 Uxx + g(x, t),       g(x, t) =            ,
                                                            ρ
                                       6

Страницы