Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

а
его относительное
удлинение
[U(x + ∆x, t) + x + ∆x − U(x, t) − x] − ∆x
∆x
,
отку
да, перех
одя к пределу при ∆x → 0, получим относительное удли-
нение в сечении x равным U
x
(x, t). Тогда по закону Гука величина
силы натяжения, действующей в этом сечении перпендикулярно к се-
чению, равна T (x, t) = ESU
x
(x, t), где E – модуль Юнга.
3. Для вывода уравнения рассмотрим элемент [x, x + ∆x]. На
основании закона Гука проекция на ось x равнодействующей сил на-
тяжения равна
T (x + ∆x, t) − T (x, t) = ES[U
x
(x + ∆x, t) − U
x
(x, t)].
Проверим правильность выбора знаков в последней формуле. Действи-
тельно, если, например, U(x, t) монотонно возрастает по x, то стержень
растянут, значит, T
l
≤ 0, а T
r
≥ 0. В то же время
∂U
∂
x
≥ 0.
Значит, знаки
выбраны верно.
T
l
= −T (x, t) = −ESU
x
(x, t), T
r
= T (x + ∆x, t) = ES
∂U
∂
x
(x +
∆x, t)
Если же U(x, t) монотонно убывает, то стержень сжат, значит, T
l
≥ 0,
а T
r
≤ 0. В то же время
∂U
∂
x
≤ 0.
Сила
инерции, которую можно считать направленной вдоль оси
стержня, равна −mU
tt
(x, t), где m = ρS∆x,ρ - объемная плотность
стержня.
На основании принципа Даламбера приравниваем нулю сумму
проекций всех сил, действующих на элемент [x, x + ∆x],
ES[U
x
(x + ∆x, t) − U
x
(x, t)] − ρS∆xU
tt
(x, t) = 0.
Сокращая на S∆x и переходя к пределу при ∆x → 0, получим
дифференциальное уравнение колебаний стержня:
U
tt
= a
2
U
xx
, a
2
= E/ρ, 0 < x < l, t > 0 (1
0
)
4. Запишем начальные условия. Предположим, что в начальный
момент стержень был растянут и точкам стержня были приданы неко-
торые начальные скорости. Следовательно, мы должны знать смеще-
ние поперечных сечений стержня в момент t = 0 , а также начальные
скорости точек стержня
U(x, 0) = ϕ(x), U
t
(x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l, (2)
где ϕ, ψ - заданные функции.
Вывод граничных условий:
5
а его относительное удлинение
             [U (x + ∆x, t) + x + ∆x − U (x, t) − x] − ∆x
                                                          ,
                                  ∆x
откуда, переходя к пределу при ∆x → 0, получим относительное удли-
нение в сечении x равным Ux (x, t). Тогда по закону Гука величина
силы натяжения, действующей в этом сечении перпендикулярно к се-
чению, равна T (x, t) = ESUx (x, t), где E – модуль Юнга.
     3. Для вывода уравнения рассмотрим элемент [x, x + ∆x]. На
основании закона Гука проекция на ось x равнодействующей сил на-
тяжения равна
        T (x + ∆x, t) − T (x, t) = ES[Ux (x + ∆x, t) − Ux (x, t)].
Проверим правильность выбора знаков в последней формуле. Действи-
тельно, если, например, U (x, t) монотонно возрастает по x, то стержень
растянут, значит, Tl ≤ 0, а Tr ≥ 0. В то же время ∂U
                                                  ∂x ≥ 0. Значит, знаки
выбраны верно.
                                                            ∂U
Tl = −T (x, t) = −ESUx (x, t), Tr = T (x + ∆x, t) = ES         (x + ∆x, t)
                                                            ∂x
Если же U (x, t) монотонно убывает, то стержень сжат, значит, Tl ≥ 0,
а Tr ≤ 0. В то же время ∂U
                        ∂x ≤ 0.
      Сила инерции, которую можно считать направленной вдоль оси
стержня, равна −mUtt (x, t), где m = ρS∆x,ρ - объемная плотность
стержня.
      На основании принципа Даламбера приравниваем нулю сумму
проекций всех сил, действующих на элемент [x, x + ∆x],
          ES[Ux (x + ∆x, t) − Ux (x, t)] − ρS∆xUtt (x, t) = 0.
    Сокращая на S∆x и переходя к пределу при ∆x → 0, получим
дифференциальное уравнение колебаний стержня:

                Utt = a2 Uxx , a2 = E/ρ, 0 < x < l, t > 0             (10 )
     4. Запишем начальные условия. Предположим, что в начальный
момент стержень был растянут и точкам стержня были приданы неко-
торые начальные скорости. Следовательно, мы должны знать смеще-
ние поперечных сечений стержня в момент t = 0 , а также начальные
скорости точек стержня
              U (x, 0) = ϕ(x), Ut (x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l,            (2)
где ϕ, ψ - заданные функции.
      Вывод граничных условий:


                                    5

Страницы