Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U |
t=0
= U
t
|
t=0
=
0,
U |
x=0
= U
x
|
x=l
= 0.
1.4. Поставить задачу о продольных колебаниях однородного
стержня в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если
конец x = 0 закреплен жестко, а конец x = l свободен. Начальные
отклонения равны ϕ(x),а начальные скорости отсутствуют.
У к а з а н и е. При выводе уравнения нужно учесть силу тре-
ния, причем сила, действующая на единицу поверхности, равна −kU
t
,
где k - коэффициент трения.
О т в е т:
U
tt
= a
2
U
xx
− 2νU
t
, 2ν =
kp
S
ρ
,
p - периметр
поперечного сечения.
U|
t=0
= ϕ(x), U
t
|
t=0
= 0, U|
x=0
= U
x
|
x=l
= 0.
1.5. Однородный стержень длиной l , закрепленный в точке
x = 0 растянут силой P ≡ const, приложенной к другому его концу.
В момент t = 0 действие силы мгновенно прекращается, после чего
стержень предоставлен самому себе. Записать начальные и граничные
условия задачи о продольных колебаниях этого стержня.
У к а з а н и е. Для определения U(x, 0) надо учесть, что в
момент t = 0 сила натяжения во всех сечениях постоянна и равна P .
О т в е т:
U |
t=0
=
P x
E
S
, U
t
|
t=0
=
0, U |
x=0
= U
x
|
x=l
= 0.
Д о м а ш н е е з а д а н и е
1.6. Тяжелый однородный стержень длиной l подвешен верти-
кально и защеплен так, что смещение во всех точках равно нулю. В
момент t = 0 стержень освобождается. Поставить задачу о вынужден-
ных колебаниях стержня.
О т в е т: U
tt
= a
2
U
xx
+ g, g-ускорение силы тяжести,
U |
t=0
= U
t
|
t=0
= 0, U |
x=0
= U
x
|
x=l
= 0
1.7. Начиная с момента t = 0, конец x = 0 однородного стержня
совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому
x = l приложена сила Φ(t), направленная по оси стержня. В момент
t = 0 сечения стержня были неподвижны и находились в неоткло-
ненном положении. Поставить задачу о продольных колебаниях этого
стержня.
7
;
               U |t=0 = Ut |t=0 = 0, U |x=0 = Ux |x=l = 0.
      1.4. Поставить задачу о продольных колебаниях однородного
стержня в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если
конец x = 0 закреплен жестко, а конец x = l свободен. Начальные
отклонения равны ϕ(x),а начальные скорости отсутствуют.
      У к а з а н и е. При выводе уравнения нужно учесть силу тре-
ния, причем сила, действующая на единицу поверхности, равна −kUt ,
где k - коэффициент трения.
      О т в е т:
                                                   kp
                    Utt = a2 Uxx − 2νUt , 2ν =        ,
                                                   Sρ
p - периметр поперечного сечения.
           U |t=0 = ϕ(x), Ut |t=0 = 0,    U |x=0 = Ux |x=l = 0.
     1.5. Однородный стержень длиной l, закрепленный в точке
x = 0 растянут силой P ≡ const, приложенной к другому его концу.
В момент t = 0 действие силы мгновенно прекращается, после чего
стержень предоставлен самому себе. Записать начальные и граничные
условия задачи о продольных колебаниях этого стержня.
     У к а з а н и е. Для определения U (x, 0) надо учесть, что в
момент t = 0 сила натяжения во всех сечениях постоянна и равна P .
     О т в е т:
                        Px
             U |t=0 =      , Ut |t=0 = 0, U |x=0 = Ux |x=l = 0.
                        ES


                 Д о м а ш н е е          з а д а н и е
     1.6. Тяжелый однородный стержень длиной l подвешен верти-
кально и защеплен так, что смещение во всех точках равно нулю. В
момент t = 0 стержень освобождается. Поставить задачу о вынужден-
ных колебаниях стержня.
     О т в е т: Utt = a2 Uxx + g, g-ускорение силы тяжести,
               U |t=0 = Ut |t=0 = 0, U |x=0 = Ux |x=l = 0;
     1.7. Начиная с момента t = 0, конец x = 0 однородного стержня
совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому
x = l приложена сила Φ(t), направленная по оси стержня. В момент
t = 0 сечения стержня были неподвижны и находились в неоткло-
ненном положении. Поставить задачу о продольных колебаниях этого
стержня.


                                      7

Страницы