Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 9 стр.

     Процесс движения тепла описывается следующими законами.
     1. Закон сохранения энергии: все тепло идет на нагревание.
     2. Количество тепла, которое необходимо сообщить малому объ-
ему тела ∆V , чтобы повысить его температуру на ∆U , равно
   ∆Q = c(x)ρ(x)∆V ∆U = c(x)ρ(x)∆V [U (x, t + ∆t) − U (x, t)],   (1)
где c(x) - удельная теплоемкость, ρ(x) - плотность вещества.
      3. Закон внутренней теплопроводности (Фурье): количество теп-
ла, протекающее за малое время ∆t через малую площадку ∆S в
точке x внутри тела в сторону нормали ~n к этой площадке, равно
                    ∆Q = −k(x) ∂U(x,t) ∆S∆t,
                                   ∂n
где k(x) - коэффициент теплопроводности (зависимостью k от U
пренебрегаем ).
      4. Закон внешней теплопроводности (Ньютона): количество теп-
лa, входящее в тело через малую площадку ∆σ на границе тела за
время ∆t, равно
                     ∆Q = α(U0 − U (x, t))∆σ∆t,                 (2)
где α - коэффициент теплообмена, U0 - температура окружающей сре-
ды.
                           З а д а ч и
       2.1. Поставить задачу об определении температуры стержня
длины l с площадью сечения S и теплоизолированной боковой поверх-
ностью, если его начальная температура является произвольной функ-
цией x; рассмотреть случаи, когда а) концы стержня поддерживаются
при заданной температуре, б) на концы подается извне заданный теп-
ловой поток, в) на концах происходит конвективный теплообмен по
закону Ньютона со средой, температура которой задана.
       Р е ш е н и е.
       1. Если стержень неравномерно нагрет, то в нем происходит пе-
редача тепла. Идеализация процесса нами была указана выше. Кроме
того, будем предполагать стержень настолько тонким, что температу-
ра всех точек поперечного сечения будет одной и той же (поперечные
сечения являются изотермическими поверхностями).
       2. Примем ось стержня за ось x (см 1.1). Тогда за характери-
зующую функцию возьмем температуру U (x, t) сечения x в момент
t.
       3. Для вывода уравнения выделим внутри стержня элемент
[x, x + ∆x] и составим для него на основании закона сохранения энер-
гии баланс тепла за время ∆t. Так как боковая поверхность теплоизо-
лирована, то этот элемент может получить тепло только через сечения
x и x + ∆x. Обозначим через n~1 и n~2 нормали к сечениям x и x + ∆x
соответственно, направленные внутрь элемента. Тогда приращение ко-
личества тепла в элементе за время ∆t равно

                                 9