Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

З
а д
а ч и
1.1. Упругий прямолинейный однородный стержень длиной l и
постоянной площадью сечения S выведен из состояния покоя тем, что
его поперечным сечениям в момент t = 0 сообщены малые продольные
смещения и скорости. Предполагая, что во время движения попереч-
ные сечения остаются параллельными плоскости, перпендикулярной
к оси стержня, поставить задачу для определения малых продольных
колебаний стержня при t > 0. Рассмотреть случаи, когда концы стерж-
ня: а) закреплены жестко, b) двигаются в продольном направлении по
заданным законам, с) свободны, d) закреплены упруго, т.е. каждый
из концов испытывает со стороны заделки продольную силу, пропор-
циональную смещению и направленную противоположно смещению.
Влияние силы тяжести на колебание частиц считать пренебрежимо
малым по сравнению с влиянием упругих сил, поэтому действием си-
лы тяжести пренебречь.
Р е ш е н и е. Стержень - это тело цилиндрической фор-
мы, для изгибания, растяжения (сжатия) которого нужно приложить
известное усилие. Если несколько растянуть стержень вдоль оси, а за-
тем предоставить самому себе, то в нем возникнут упругие силы (си-
лы натяжения), уравновешивающие действие внешних сил. Возникают
свободные продольные колебания.
1. Идеализация процесса состоит в том, что пренебрегают дефор-
мацией поперечных сечений стержня и действием силы тяжести.
2. Пусть ось x совпадает с направлением оси стержня (см. рис).
За характеризующую функцию возьмем смещение U(x, t) вдоль оси x
в момент t поперечного сечения, абсцисса которого в состоянии рав-
новесия равна x.
Так как рассматриваются малые колебания, то упругие силы
подчинены закону Гука. Найдем прежде всего относительное удли-
нение стержня в сечении x в момент t. Подсчитаем относительное
удлинение элемента [x, x + ∆x] в момент t. Координаты концов этого
элемента в момент t равны соответственно
x + U(x, t), x + ∆x + U(x + ∆x, t),
4
                           З а д а ч и
      1.1. Упругий прямолинейный однородный стержень длиной l и
постоянной площадью сечения S выведен из состояния покоя тем, что
его поперечным сечениям в момент t = 0 сообщены малые продольные
смещения и скорости. Предполагая, что во время движения попереч-
ные сечения остаются параллельными плоскости, перпендикулярной
к оси стержня, поставить задачу для определения малых продольных
колебаний стержня при t > 0. Рассмотреть случаи, когда концы стерж-
ня: а) закреплены жестко, b) двигаются в продольном направлении по
заданным законам, с) свободны, d) закреплены упруго, т.е. каждый
из концов испытывает со стороны заделки продольную силу, пропор-
циональную смещению и направленную противоположно смещению.
Влияние силы тяжести на колебание частиц считать пренебрежимо
малым по сравнению с влиянием упругих сил, поэтому действием си-
лы тяжести пренебречь.
      Р е ш е н и е. Стержень - это тело цилиндрической фор-
мы, для изгибания, растяжения (сжатия) которого нужно приложить
известное усилие. Если несколько растянуть стержень вдоль оси, а за-
тем предоставить самому себе, то в нем возникнут упругие силы (си-
лы натяжения), уравновешивающие действие внешних сил. Возникают
свободные продольные колебания.
      1. Идеализация процесса состоит в том, что пренебрегают дефор-
мацией поперечных сечений стержня и действием силы тяжести.
      2. Пусть ось x совпадает с направлением оси стержня (см. рис).
За характеризующую функцию возьмем смещение U (x, t) вдоль оси x
в момент t поперечного сечения, абсцисса которого в состоянии рав-
новесия равна x.




     Так как рассматриваются малые колебания, то упругие силы
подчинены закону Гука. Найдем прежде всего относительное удли-
нение стержня в сечении x в момент t. Подсчитаем относительное
удлинение элемента [x, x + ∆x] в момент t. Координаты концов этого
элемента в момент t равны соответственно
                x + U (x, t), x + ∆x + U (x + ∆x, t),


                                  4

Страницы