Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

λ
Приведенная
классифик
ация
зависит только от точки x
0
, так как
числа r и m зависят от точки x
0
. Ясно, что тип уравнения (n
+
, n
−
, n
0
)
тесно связан с его каноническим видом. Поэтому тип уравнения можно
определять по каноническому виду.
З а д а ч и.
Определить типы уравнений.
3.1. Рассмотрим уравнение колебаний струны:
U
tt
= a
2
U
xx
+f(x, t), или U
tt
−a
2
U
xx
−f(x, t) = 0 (x
1
= t, x
2
= x).
Составим матрицу старших коэффициентов A.
A =
µ
1 0
0 −a
2
Определим собственные значения матрицы A.
| A − λE |= det
µ
1 − λ 0
0 −a
2
−
= 0.
Откуда
λ
1
= 1, λ
2
= −a
2
.
Заметим, что можно было бы сразу найти эти собственные зна-
чения, так как матрица A диагональная (собственные значения совпа-
дают с диагональными элементами).
Итак, рассматриваемое уравнение имеет тип (1, 1, 0) в R
2
, так
как
n
+
= 1
,
n
−
= 1
,
n
0
= 0
, то есть уравнение гиперболического типа
в R
2
.
3.2. Рассмотрим уравнение
U
xx
+ 4U
xy
+ 5U
yy
+ U
x
+ U
y
= 0.
A =
µ
1 2
2 5
, | A − λE |=
¯
¯
¯
¯
1 − λ 2
2 5 − λ
¯
¯
¯
¯
= 0.
Таким образом, n
+
= 2, n
−
= 0, n
0
= 0. Уравнение имеет тип
(2,0,0) в R
2
, то есть эллиптический тип.
Привести к каноническому виду и определить типы
3.3.
4U
xx
− 4U
xy
− 2U
yz
+ U
y
+ U
z
= 0 (x = x
1
, y = x
2
, z = x
3
). (13)
Для приведения к каноническому виду составим соответствую-
щую квадратичную форму
P = 4p
2
1
− 4p
1
p
2
− 2p
2
p
3
.
17
уравнений.
      Приведенная классификация зависит только от точки x0 , так как
числа r и m зависят от точки x0 . Ясно, что тип уравнения (n+ , n− , n0 )
тесно связан с его каноническим видом. Поэтому тип уравнения можно
определять по каноническому виду.

                                   З а д а ч и.

      Определить типы уравнений.
      3.1. Рассмотрим уравнение колебаний струны:
Utt = a2 Uxx +f (x, t),    или       Utt −a2 Uxx −f (x, t) = 0 (x1 = t, x2 = x).
      Составим матрицу старших коэффициентов A.
                             µ       ¶
                               1 0
                         A=
                               0 −a2
      Определим собственные значения матрицы A.
                             µ              ¶
                               1−λ      0
             | A − λE |= det                  = 0.
                                0   −a2 − λ
Откуда
                        λ1 = 1,     λ2 = −a2 .
       Заметим, что можно было бы сразу найти эти собственные зна-
чения, так как матрица A диагональная (собственные значения совпа-
дают с диагональными элементами).
       Итак, рассматриваемое уравнение имеет тип (1, 1, 0) в R2 , так
как n+ = 1, n− = 1, n0 = 0, то есть уравнение гиперболического типа
в R2 .
       3.2. Рассмотрим уравнение

                     Uxx + 4Uxy + 5Uyy + Ux + Uy = 0.
                 µ         ¶                    ¯              ¯
                     1 2                        ¯ 1−λ  2       ¯
           A=        2 5       ,   | A − λE |= ¯¯ 2   5−λ
                                                               ¯ = 0.
                                                               ¯
      Таким образом, n+ = 2, n− = 0, n0 = 0. Уравнение имеет тип
(2,0,0) в R2 , то есть эллиптический тип.

    3.3. Привести к каноническому виду и определить типы
уравнений.
  4Uxx − 4Uxy − 2Uyz + Uy + Uz = 0 (x = x1 , y = x2 , z = x3 ). (13)
    Для приведения к каноническому виду составим соответствую-
щую квадратичную форму
                     P = 4p21 − 4p1 p2 − 2p2 p3 .

                                         17

Страницы