Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.
Пусть δ
> 0, тогда (2) имеет два вещественных различных
общих интеграла
ϕ(x, y) = c
1
, ψ(x, y) = c
2
которые определяют два семейства характеристических кривых (ха-
рактеристик) уравнения (1), причем
detJ(x, y) =
¯
¯
¯
¯
ϕ
x
ϕ
y
ψ
x
ψ
y
¯
¯
¯
¯
6= 0 (3)
Введем в (1)новые независимые переменные ξ, η
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y) (4)
В силу (3) существует обратное преобразование x = ˜ϕ(ξ, η),
y =
˜
ψ(ξ, η), и искомая функция U(x, y) перейдет в функцию
U(ξ, η)(для удобства не меняется обозначение функции), при этом пер-
вые производные выразятся через производные по новым переменным
следующим образом
U
x
= U
ξ
ξ
x
+ U
η
η
x
, U
y
= U
ξ
ξ
y
+ U
η
η
y
.
Аналогично записываются и вторые производные. Замена (4) приво-
дит уравнение (1) к каноническому виду
U
ξη
+ Φ
1
(ξ, η, U, U
ξ
, U
η
) = 0.
Замечание. Сделав замену ξ = α + β, η = α − β, можно привести
уравнение к виду
U
αα
− U
ββ
=
˜
Φ(α, β, U, U
α
, U
β
).
2. δ ≡ 0. (2) имеет один общий интеграл ϕ(x, y) = C. Делаем
замену
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y) (5)
где ψ - любая функция, принадлежащая классуC
2
и удовлетворяющая
условию (3). Замена (5) приводит (1) к виду:
U
ηη
+ Φ
2
(ξ, η, U, U
ξ
, U
η
) = 0.
Это канонический вид уравнения параболического типа.
3. δ < 0, тогда (1) эллиптического типа. Предполагая, что a, b, c -
аналитические функции от x, y, получим, что (2) имеет два комплексно
сопряженных общих интеграла, один из которых имеет вид:
ϕ(x, y) ≡ ϕ
1
(x, y) + iψ
1
(x, y) = C,
где ϕ
1
и ψ
1
- вещественные функции, удовлетворяющие (3). Положив
ξ = ϕ
1
(x, y), η = ψ
1
(x, y), получим канонический вид уравнения:
22
U
ξξ
+ Uηη + Φ
3
(ξ, η, U, U
ξ
, U
η
) = 0
.
.
,
.
    1. Пусть δ > 0, тогда (2) имеет два вещественных различных
общих интеграла
                    ϕ(x, y) = c1 , ψ(x, y) = c2 ,
которые определяют два семейства характеристических кривых (ха-
рактеристик) уравнения (1), причем
                                  ¯       ¯
                                  ¯ ϕx ϕy ¯
                    detJ(x, y) = ¯¯ ψ ψ ¯¯ 6= 0 .           (3)
                                         x   y

Введем в (1)новые независимые переменные ξ, η
                        ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y) .                   (4)
       В силу (3) существует обратное преобразование x = ϕ̃(ξ, η),
y = ψ̃(ξ, η), и искомая функция U (x, y) перейдет в функцию
U (ξ, η)(для удобства не меняется обозначение функции), при этом пер-
вые производные выразятся через производные по новым переменным
следующим образом
                 Ux = Uξ ξx + Uη ηx , Uy = Uξ ξy + Uη ηy .
Аналогично записываются и вторые производные. Замена (4) приво-
дит уравнение (1) к каноническому виду

                     Uξη + Φ1 (ξ, η, U, Uξ , Uη ) = 0.
Замечание. Сделав замену ξ = α + β, η = α − β, можно привести
уравнение к виду

                    Uαα − Uββ = Φ̃(α, β, U, Uα , Uβ ).
     2. δ ≡ 0. (2) имеет один общий интеграл ϕ(x, y) = C. Делаем
замену
                      ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y)                (5)
где ψ - любая функция, принадлежащая классуC 2 и удовлетворяющая
условию (3). Замена (5) приводит (1) к виду:

                     Uηη + Φ2 (ξ, η, U, Uξ , Uη ) = 0.
     Это канонический вид уравнения параболического типа.
     3. δ < 0, тогда (1) эллиптического типа. Предполагая, что a, b, c -
аналитические функции от x, y, получим, что (2) имеет два комплексно
сопряженных общих интеграла, один из которых имеет вид:
                  ϕ(x, y) ≡ ϕ1 (x, y) + iψ1 (x, y) = C,
где ϕ1 и ψ1 - вещественные функции, удовлетворяющие (3). Положив
ξ = ϕ1 (x, y), η = ψ1 (x, y), получим канонический вид уравнения:
                    Uξξ + U ηη + Φ3 (ξ, η, U, Uξ , Uη ) = 0 .
                                    22

Страницы