Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4.7. U
xx
+
4U
xy
+ 5U
y
y
+ U
x
+ U
y
= 0
У к а з а н и е. Уравнение эллиптично в R
2
, соответству-
ющее уравнение характеристик имеет интегралы y − 2x + ix = C
1
,
y − 2x − ix = C
2
, поэтому замена ξ = y − 2x, η = x.
О т в е т: U
ξξ
+ U
ηη
+ U
η
− U
ξ
= 0
4.8. x
2
U
xx
− 2xyU
xy
+ y U
yy
+ xU
x
+ yU
y
= 0
У к а з а н и е. Уравнение параболического типа в
R
2
, уравнение характеристик имеет интеграл xy = C. Можно сделать
замену ξ = xy, η = y.
О т в е т: ηU
ηη
+ U
η
= 0
4.9. yU
xx
+ U
yy
= 0
У к а з а н и е. Уравнение смешанного типа (см. 4.5.),
поэтому приведение к каноническому виду осуществляется отдельно
при y > 0 и при y < 0.
О т в е т: 1)U
ξξ
+ U
ηη
+
1
3η
U
η
=
0,
ξ = x, η =
2
3
y
3/2
(y
> 0),
2)
U
ξη
−
U
ξ
−U
η
6(η−ξ)
,
ξ= x −
2
3
(−y)
3/2
,
η = x +
2
3
(−y)
3/2
(y
< 0).
Д
о м а ш н е е з а д а н и е
Определить типы данных уравнений
4.10. (1 − x
2
)U
xx
− 2xyU
xy
+ (1 − y
2
)U
yy
− 2xU
x
− 2yU
y
=
0, (x, y) ∈ R
2
О т в е т: смешанный тип, x
2
+ y
2
= 1 – линия параболического
вырождения, x
2
+y
2
< 1 - область эллиптичности, x
2
+y
2
> 1 - область
гиперболичности.
4.11. ρ(x)U
tt
= (p(x)U
x
)
x
− q(x)U + f(x, t) = 0 – уравнение ко-
лебаний при n = 1, ρ, p > 0, (x, t) ∈ R
1
x
× (0, ∞).
О т в е т: гиперболический тип.
4.12. ρ(x)U
t
= (p(x)U
x
)
x
− q(x)U + f(x, t) = 0 – уравнение диф-
фузии при n = 1, ρ, p > 0, (x, t) ∈ R
1
x
× (0, ∞).
О т в е т: параболический тип.
4.13. (p(x, y)Ux)x + (p(x, y)Uy)y − q(x, y)U + f(x, y) = 0 – ста-
ционарное уравнение при n = 1, p > 0, (x, y) ∈ R
2
.
24
2
= 0
О т в е т: эллиптический тип.
Привести к каноническому виду.
.
.
.
.
.
.
     4.7. Uxx + 4Uxy + 5Uyy + Ux + Uy = 0 .
     У к а з а н и е. Уравнение эллиптично в R2 , соответству-
ющее уравнение характеристик имеет интегралы y − 2x + ix = C1 ,
y − 2x − ix = C2 , поэтому замена ξ = y − 2x, η = x.
     О т в е т: Uξξ + Uηη + Uη − Uξ = 0 .
     4.8. x2 Uxx − 2xyUxy + y2 Uyy + xUx + yUy = 0.
     У к а з а н и е. Уравнение параболического типа в
 2
R , уравнение характеристик имеет интеграл xy = C. Можно сделать
замену ξ = xy, η = y.
     О т в е т: ηUηη + Uη = 0.
     4.9. yUxx + Uyy = 0 .
     У к а з а н и е. Уравнение смешанного типа (см. 4.5.),
поэтому приведение к каноническому виду осуществляется отдельно
при y > 0 и при y < 0.
                               1
     О т в е т: 1)Uξξ + Uηη + 3η Uη = 0, ξ = x, η = 32 y 3/2 (y > 0),
               Uξ −Uη
     2)Uξη −   6(η−ξ)   = 0, ξ= x − 32 (−y)3/2 , η = x + 32 (−y)3/2 (y < 0).



                    Д о м а ш н е е з а д а н и е
       Определить типы данных уравнений .
       4.10. (1 − x2 )Uxx − 2xyUxy + (1 − y 2 )Uyy − 2xUx − 2yUy =
0, (x, y) ∈ R2
       О т в е т: смешанный тип, x2 + y 2 = 1 – линия параболического
вырождения, x2 +y 2 < 1 - область эллиптичности, x2 +y 2 > 1 - область
гиперболичности.
       4.11. ρ(x)Utt = (p(x)Ux )x − q(x)U + f (x, t) = 0 – уравнение ко-
лебаний при n = 1, ρ, p > 0, (x, t) ∈ Rx1 × (0, ∞).
       О т в е т: гиперболический тип.
       4.12. ρ(x)Ut = (p(x)Ux )x − q(x)U + f (x, t) = 0 – уравнение диф-
фузии при n = 1, ρ, p > 0, (x, t) ∈ Rx1 × (0, ∞).
       О т в е т: параболический тип.
       4.13. (p(x, y)U x)x + (p(x, y)U y)y − q(x, y)U + f (x, y) = 0 – ста-
ционарное уравнение при n = 1, p > 0, (x, y) ∈ R2 .
       О т в е т: эллиптический тип.
       Привести к каноническому виду.




                                      24

Страницы