Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

.
т
.е. вернувшись
к старым переменным, получаем общее решение урав-
нения (1).
З а д а ч и
5.1.
U
xy
= 0. (2)
Уравнение (2) в каноническом виде. Перепишем его так:
(U
y
)
x
= 0 (3)
Сделаем в (3) замену искомой функции
U
y
(x, y) = V (x, y), (4)
тогда получим
V
x
(x, y) = 0. (5)
Так как в (5) переменная y входит как параметр, то (5) можно рас-
сматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с незави-
симой переменой x. Действительно, зафиксируем в (5) y = y
0
, тогда
V
x
(x, y
0
) =
dV(x,y
0
)
dx
и
уравнение (5)
запишем в виде:
dV
dx
=
0, отку
да,
интегрируя, получаем
V (x, y) = C, (6)
где C − const. Но (6) не является общим решением (5), так как оно
получено при фиксированном y. При изменении y будет меняться и
постоянная C, поэтому самая общая функция, удовлетворяющая (5),
будет иметь вид:
V (x, y) = C(y) (7)
где C(y) - произвольная функция. Подставив (7) в (4), получим урав-
нение U
y
(x, y) = C(y).
Рассуждая теперь, как и выше, считая x параметром, путем
интегрирования по y, получим U =
R
C(y)dy + C
1
(x), где C
1
(x) -
произвольная функция. Обозначая C
2
(y) =
R
C(y)dy, имеем
U(x, y) = C
1
(x) + C
2
(y) (8)
Подставляя (8) в (2), убеждаемся, что каковы бы ни были функ-
ции C
1
и C
2
(дважды дифференцируемые), функция (8) дает решение
(2). Так как всякое решение уравнения (2) может быть представлено в
виде (8) при соответствующем выборе функций C
1
и C
2
, то (8) - общее
решение (1).
5.2. U
yy
= a
2
U
xx
(U
tt
= a
2
U
xx
).
О т в е т:
U = C
1
(x + ay) + C
2
(x − ay).
26
.
т.е. вернувшись к старым переменным, получаем общее решение урав-
нения (1).

                           З а д а ч и

     5.1.
                               Uxy = 0.                            (2)
     Уравнение (2) в каноническом виде. Перепишем его так:
                              (Uy )x = 0 .                         (3)
Сделаем в (3) замену искомой функции
                         Uy (x, y) = V (x, y),                     (4)
тогда получим
                             Vx (x, y) = 0.                        (5)
Так как в (5) переменная y входит как параметр, то (5) можно рас-
сматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение с незави-
симой переменой x. Действительно, зафиксируем в (5) y = y0 , тогда
                                                       dV
Vx (x, y0 ) = dV(x,y0) и уравнение (5) запишем в виде:    = 0, откуда,
                dx                                     dx
интегрируя, получаем
                               V (x, y) = C,                       (6)
где C − const. Но (6) не является общим решением (5), так как оно
получено при фиксированном y. При изменении y будет меняться и
постоянная C, поэтому самая общая функция, удовлетворяющая (5),
будет иметь вид:
                          V (x, y) = C(y).                       (7)
где C(y) - произвольная функция. Подставив (7) в (4), получим урав-
нение Uy (x, y) = C(y).
     Рассуждая теперь, как и выше, Rсчитая x параметром, путем
интегрирования по y, получим U = C(y)dy    R  + C1 (x), где C1 (x) -
произвольная функция. Обозначая C2 (y) = C(y)dy, имеем
                       U (x, y) = C1 (x) + C2 (y)                  (8)
      Подставляя (8) в (2), убеждаемся, что каковы бы ни были функ-
ции C1 и C2 (дважды дифференцируемые), функция (8) дает решение
(2). Так как всякое решение уравнения (2) может быть представлено в
виде (8) при соответствующем выборе функций C1 и C2 , то (8) - общее
решение (1).
      5.2. Uyy = a2 Uxx (Utt = a2 Uxx ).
     О т в е т:
     U = C1 (x + ay) + C2 (x − ay).

                                  26

Страницы