Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

З
А Н
Я Т И Е 6
Тема. ЗАДАЧА КОШИ И ГУРСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Известно, что, зная общее решение обыкновенного дифференци-
ального уравнения, можно решить некоторые задачи, например, зада-
чу Коши, определяя соответствующим образом постоянные, входящие
в общее решение. Для уравнений в частных производных знание об-
щего решения позволяет также решать некоторые задачи математи-
ческой физики, содержащие дополнительные условия. При решении
задачи произвольные функции, входящие в общее решение, определя-
ются таким образом, чтобы удовлетворялись дополнительные условия.
1. З а д а ч а К о ш и . Пусть в области Ω задано уравнение
гиперболического типа:
a(x, y)U
xx
+ 2b(x, y)U
xy
+ c(x, y)U
yy
+ a
1
(x, y)U
x
+
+b
1
(x, y)U
y
+ c
1
(x, y)U = f(x, y) (1)
и задана кривая Γ, которая принадлежит области Ω или является ча-
стью границы ∂Ω области Ω, причем касательное направление к Γ не
является характеристическим.
Пусть на Γ заданы функции ϕ(x, y), ψ(x, y) и направление
~
l(x, y), не являющееся касательным к Γ. Требуется найти функцию
U(x, y), которая в Ω удовлетворяет (1) и на Γ удовлетворяет условиям
U|
Γ
= ϕ(x, y),
∂U
∂
l
|
Γ
= ψ(x, y) (2)
Если коэффициенты уравнения (1) и данные условия (2) достаточно
гладкие, то в области D, ограниченной характеристиками уравнения
(1), проходящими через концы Γ, существует единственное решение
задачи (1),(2).
З а д а ч а Г у р с а . Пусть дано уравнение (1) в канониче-
ском виде:
U
xy
+ a(x, y)U
x
+ b(x, y)U
y
+ c(x, y)U = f(x, y), (3)
причем a, b, c ∈ C(
¯
Ω), где
¯
Ω = [0, x
0
] × [0, y
0
]. Найти функцию
U ∈ C
1
(Ω) ∩ C(
¯
Ω), U
xy
∈ C(Ω), удовлетворяющую (3) в Ω и принима-
ющую на его сторонах (кусках характеристик уравнения(3)) заданные
значения
U
|
x=0
=
ϕ
1
(
y
)
,
0
≤
y
≤
y
0
, U
|
y=0
=
ψ
1
(
x
)
,
0
≤
x
≤
x
0
(4)
Если f, ϕ
1
, ψ
1
∈ C,ϕ
1
(0) = ψ
1
(0), то существует единственное решение
задачи (3), (4).
28
.
                      ЗАНЯТИЕ6
       Тема. ЗАДАЧА КОШИ И ГУРСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
                ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

     Известно, что, зная общее решение обыкновенного дифференци-
ального уравнения, можно решить некоторые задачи, например, зада-
чу Коши, определяя соответствующим образом постоянные, входящие
в общее решение. Для уравнений в частных производных знание об-
щего решения позволяет также решать некоторые задачи математи-
ческой физики, содержащие дополнительные условия. При решении
задачи произвольные функции, входящие в общее решение, определя-
ются таким образом, чтобы удовлетворялись дополнительные условия.
     1. З а д а ч а К о ш и . Пусть в области Ω задано уравнение
гиперболического типа:
          a(x, y)Uxx + 2b(x, y)Uxy + c(x, y)Uyy + a1 (x, y)Ux +

                   +b1 (x, y)Uy + c1 (x, y)U = f (x, y)                (1)
 и задана кривая Γ, которая принадлежит области Ω или является ча-
 стью границы ∂Ω области Ω, причем касательное направление к Γ не
 является характеристическим.
        Пусть на Γ заданы функции ϕ(x, y), ψ(x, y) и направление
~l(x, y), не являющееся касательным к Γ. Требуется найти функцию
 U (x, y), которая в Ω удовлетворяет (1) и на Γ удовлетворяет условиям
                                       ∂U
                     U |Γ = ϕ(x, y),      |Γ = ψ(x, y)                 (2)
                                       ∂l
Если коэффициенты уравнения (1) и данные условия (2) достаточно
гладкие, то в области D, ограниченной характеристиками уравнения
(1), проходящими через концы Γ, существует единственное решение
задачи (1),(2).
      З а д а ч а Г у р с а . Пусть дано уравнение (1) в канониче-
ском виде:
           Uxy + a(x, y)Ux + b(x, y)Uy + c(x, y)U = f (x, y),          (3)

причем a, b, c ∈ C(Ω̄), где Ω̄ = [0, x0 ] × [0, y0 ]. Найти функцию
U ∈ C 1 (Ω) ∩ C(Ω̄), Uxy ∈ C(Ω), удовлетворяющую (3) в Ω и принима-
ющую на его сторонах (кусках характеристик уравнения(3)) заданные
значения
         U |x=0 = ϕ1 (y), 0 ≤ y ≤ y0 , U |y=0 = ψ1 (x), 0 ≤ x ≤ x0 .   (4)
Если f, ϕ1 , ψ1 ∈ C,ϕ1 (0) = ψ1 (0), то существует единственное решение
задачи (3), (4).

                                    28

Страницы