Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6.2. U
y
y
= a
2
U
xx
, U|
y=0
=
0, U
y
|
y=0
= A sin x, A − const, |x| < ∞
О т в е т : U = (A/a) sin x sin ay
6.3. U
yy
= U
xx
+ 6, −∞ < x, y < ∞, U|
y=0
= x
2
, U
y
|
y=0
=
4x, |x| < ∞
О т в е т : U = (x + 2y)
2
6.4. U
xy
= 0, x > 0, y > 0, U|
y=0
= f(x), x ≥ 0, U
x=0
= g(y), y ≥ 0,
причем f, g ∈ C
2
(x > 0) ∩ C(x ≥ 0), f(0) = g(0).
О т в е т : U = f(x) + g(y) − f(0).
6.5. U
xx
+ 2U
xy
− 3U
yy
= 0, −∞ < x, y < ∞, U|
y=0
=
3x
2
, U
y
|
y=0
= 0, |x | < ∞
О т в е т : U = 3x
2
+ y
2
.
6.6. U
xy
= 0, a < x < b, c < y < d, U|
y=ϕ(x)
= U
0
(x),
U
y
|
y=ϕ(x)
= U
1
(x), где c = infϕ(x), d = supϕ(x); ϕ, U
0
, U
1
– задан-
ные на интервале (a, b)функции, удовлетворяющие условиям ϕ ∈ C
2
,
ϕ
0
6= 0, U
0
∈ C
2
, U
1
∈ C
1
.
О т в е т : U = U
0
(x) +
R
ϕ
−1
(y)
x
U
1
(ξ)ϕ0(ξ)dξ.
Д о м а ш н е е з а д а н и е
6.7. U
xx
− U
yy
− 2U
x
− 2U
y
= 4, −∞ < x, y <
∞, U|
x=0
= −y, U
x
|
x=0
= = y − 1, |y| < ∞.
О т в е т : U =
1
2
[1 − 3y − x +
(x + y − 1)
e
2x
]
6.8. U
xx
+4U
xy
−5U
yy
+U
x
−U
y
= 0, −∞ < x, y < ∞, U|
y=0
= f(x),
U
y
|
y=0
= F (x), |x| < ∞.
О т в е т : U = f(x + y) +
5
6
e
−
x+y
6
R
x−y
/5
x+y
e
α
/6
[f
0
(α) − F (α)]dα.
6.9. U
xy
+ U
x
= x, x > 0, y > 0, U|
x=0
= y
2
, U|
y=0
= x
2
.
О т в е т : U = y
2
+
x
2
2
(1
+ e
−y
).
30
.
.
.
.
.
      6.2. Uyy = a2 Uxx , U |y=0 = 0, Uy |y=0 = A sin x, A − const, |x| < ∞ .
      О т в е т : U = (A/a) sin x sin ay .
      6.3. Uyy = Uxx + 6, −∞ < x, y < ∞, U |y=0 = x2 , Uy |y=0 =
4x, |x| < ∞
      О т в е т : U = (x + 2y)2.
     6.4. Uxy = 0, x > 0, y > 0, U |y=0 = f (x), x ≥ 0, Ux=0 = g(y), y ≥ 0,
причем f, g ∈ C 2 (x > 0) ∩ C(x ≥ 0), f (0) = g(0).
      О т в е т : U = f (x) + g(y) − f (0).
      6.5. Uxx + 2Uxy − 3Uyy = 0, −∞ < x, y < ∞, U |y=0 =
  2
3x , Uy |y=0 = 0, |x | < ∞ .
      О т в е т : U = 3x2 + y 2 .
       6.6. Uxy = 0, a < x < b, c < y < d, U |y=ϕ(x) = U0 (x),
Uy |y=ϕ(x) = U1 (x), где c = inf ϕ(x), d = supϕ(x); ϕ, U0 , U1 – задан-
ные на интервале (a, b)функции, удовлетворяющие условиям ϕ ∈ C 2 ,
ϕ0 6= 0, U0 ∈ C 2 , U1 ∈ C 1 .
                               R ϕ−1 (y)
       О т в е т : U = U0 (x) + x        U1 (ξ)ϕ0(ξ)dξ.


                    Д о м а ш н е е з а д а н и е


      6.7. Uxx − Uyy − 2Ux − 2Uy = 4, −∞                        <     x, y   <
∞,    U |x=0 = −y, Ux |x=0 = = y − 1, |y| < ∞.
      О т в е т : U = 21 [1 − 3y − x + (x + y − 1)e2x ] .
       6.8. Uxx +4Uxy −5Uyy +Ux −Uy = 0, −∞ < x, y < ∞, U |y=0 = f (x),
Uy |y=0 = F (x), |x| < ∞.
                                        x+y R x−y/5
       О т в е т : U = f (x + y) + 65 e− 6 x+y eα/6 [f 0 (α) − F (α)]dα.

      6.9. Uxy + Ux = x, x > 0, y > 0, U |x=0 = y 2 , U |y=0 = x2 .
                             x2
      О т в е т : U = y2 +   2 (1   + e−y ).




                                         30

Страницы