Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 32 стр.

причем ϕn ∈ C 2 , ψn ∈ C 1 и, кроме того, ϕn →                       →
                                                → ϕ при n → ∞, ψn → ψ при
n → ∞.
      Пусть Un (x, t) - решение задачи (1),(2) с начальными данными
ϕn и ψn , тогда если Un (x, t) →
                               → U (x, t) при n → ∞ , то U (x, t) - обобщен-
ное решение задачи (1), (2). Можно доказать, что обобщенное решение
существует и определяется формулой (3), причем при некоторых зна-
чениях x и t U (x, t) не имеет соответствующих производных.
      Кроме того, доказывается, что малые изменения начальных
условий влекут за собой малые изменения решений, т.е. имеет место
устойчивость решений задачи Коши. Поэтому решения, полученные с
помощью сглаживания начальных условий, будут сколь угодно мало
отличаться от тех, которые мы получим по формуле (3), когда ϕ и ψ
имеют точки разрыва или не везде дифференцируемы.
      Теперь остановимся на физической интерпретации формулы (3).
Представим ее в виде

                   U (x, t) = U1 (x − at) + U2 (x + at),
где
                 U1 (x − at) = ϕ(x − at)/2 − Ψ(x − at),

                 U2 (x + at) = ϕ(x + at)/2 + Ψ(x + at),
          1
            Rx                                      1
а Ψ(x) = 2a x0 ψ(α)d α + C — первообразная функции 2a ψ(x).
     Попытаемся выяснить, каков профиль отклонения, определяе-
мого функцией U = U1 (x − at). Зафиксируем t = 0 и рассмотрим
функцию
                       U |t=0 = U1 |t=0 = U1 (x),
которая нам даст профиль этого отклонения в начальный момент вре-
мени t = 0. Выясним, как будут меняться профили отклонения, опре-
деляемого этой функцией, при изменении t. Для этого в точку x = c
оси x поместим наблюдателя, смещение над головой которого в момент
t = 0 равно U1 (c). Предположим, что наблюдатель двигается вдоль
струны со скоростью a, то есть его абсцисса изменяется по закону
x = c + at или x − at = c. В момент t профиль отклонения над головой
наблюдателя будет равен U = U1 (x − at) = U1 (c + at − at) = U1 (c), то
есть для наблюдателя профиль отклонения будет казаться все время
постоянным, то есть тем же самым, что и при t = 0.
      Отсюда вывод: отклонение U = U1 (x − at) представляет собой
перемещение неизменного профиля U = U1 (x) вправо со скоростью a.
      В физике процесс движения отклонения по струне называется
волной, при этом a - скорость распространения волны. Движение впра-
во называют прямой волной. Итак, U = U1 (x − at) - прямая волна.
      Рассуждая аналогично, получаем, что U = U2 (x + at) - пере-
мещение отклонения U = U2 (x) влево со скоростью a и называется
обратной волной.

                                    32