Уравнения математической физики. Салехова И.Г - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

г
де x
0
= 0
. На отрезке [1, 3] имеем
F (x) =
Z
x
1
bd α + C
2
= b(x − 1) + C
2
.
На интервале (3, ∞) получаем
F (x) =
Z
x
4
0d α + C
3
= C
3
.
Выберем постоянные C
i
(i =
1, 3) из
условия
непрерывности
функции F(x) в точках x = 1, x = 3. Выберем C
1
= 0, тогда из
условия непрерывности в точке x = 1 имеем b(1 −1) + C
2
= 0, то есть
C
2
= 0. Из условия непрерывности в точке x = 3 получим b(3−1) = C
3
,
тогда C
3
= 2b. Таким образом,
F (x) =
(
0, x ≤ 1,
b(x − 1), 1 ≤ x ≤ 3,
2b, x ≥ 3.
б) Ответ: F (x) =
(
0, x ≤ 0,
1 − cos x, 0 ≤ x ≤ π,
2, x ≥ π.
в) Ответ: F (x) =
(
0, x ≤ 1,
(x − 1)
2
, 1 ≤ x ≤ 3,
4, x ≥ 3.
В задачах 7.3 — 7.5 найти решение с помощью формулы Далам-
бера.
7.3. Найти решение уравнения колебаний струны (1) при началь-
ных условиях
(
U(x, 0) = sin x,
−∞ < x < ∞
U
t
(x, 0) = 0,
Р е ш е н и е.
35
где x0 = 0. На отрезке [1, 3] имеем
                        Z x
                F (x) =      bd α + C2 = b(x − 1) + C2 .
                          1

На интервале (3, ∞) получаем
                            Z       x
                    F (x) =             0d α + C3 = C3 .
                                4

     Выберем постоянные Ci (i = 1, 3) из условия непрерывности
функции F (x) в точках x = 1, x = 3. Выберем C1 = 0, тогда из
условия непрерывности в точке x = 1 имеем b(1 − 1) + C2 = 0, то есть
C2 = 0. Из условия непрерывности в точке x = 3 получим b(3−1) = C3 ,
тогда C3 = 2b. Таким образом,
                          (
                            0,        x ≤ 1,
                   F (x) = b(x − 1), 1 ≤ x ≤ 3,
                            2b,       x ≥ 3.




                                    (
                                         0,         x ≤ 0,
               б) Ответ: F (x) =         1 − cos x, 0 ≤ x ≤ π,
                                         2,         x ≥ π.
                                    (
                                    0,        x ≤ 1,
                                          2
                в) Ответ: F (x) = (x − 1) , 1 ≤ x ≤ 3,
                                    4,        x ≥ 3.
        В задачах 7.3 — 7.5 найти решение с помощью формулы Далам-
бера.
     7.3. Найти решение уравнения колебаний струны (1) при началь-
ных условиях
                 (
                   U (x, 0) = sin x,
                                     −∞ < x < ∞
                   Ut (x, 0) = 0,
     Р е ш е н и е.

                                         35

Страницы