Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

160
() ()
dyxxdyyyP
d
c
d
c
22
1212
′
+π=ϕ
′
+ϕπ=
∫∫
. (3.50)
Замечание. Если кривая, дуга
A
B которой вращается вокруг оси O
X
,
задана параметрическими уравнениями
()
tx ϕ= ,
(
)
ty
ψ
=
(
)
β
≤
≤
α
t ,
причём
()
0≥ψ t и функции
(
)
t
ψ
и
(
)
t
ϕ
непрерывны на сегменте
[
]
β
α
,,
()
0≠ϕ
′
t на этом сегменте и
(
)
a
=
α
ϕ ,
(
)
b
=
β
ϕ
, то, производя замену перемен-
ной в формуле (3.48), получим
()
()
()
2
12
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ϕ
′
ψ
′
+ψπ=
∫
β
α
t
t
tP
(
)
dttϕ
или
() () ()
dttttP
22
β
α
ψψ2π
′
+ϕ
′
=
∫
. (3.51)
Если кривая задана уравнением в полярных координатах
()
θ=
ρ
f ,
β
≤
θ
≤
α ,
где
()
θf имеет непрерывную производную
(
)
θ
f , то площадь поверхности
вращения кривой вычисляется по формуле [ 3 ]:
θρρρsinθ2π
β
α
2
θ
2
dP
∫
′
+= , (3.52)
где α и
β – углы полярных радиусов, соответствующих точкам
A
и
B
.
Пример 1. Найти площадь поверхности, об-
разованной вращением цепной линии
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
−
a
x
a
x
ee
a
y
2
(рис. 71) вокруг оси абсцисс от
точки
ax −=
1
до точки ax =
2
.
Решение. Из уравнения цепной линии нахо-
дим:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
′
−
a
x
a
x
eey
2
1
.
Замечая далее, что рассматриваемая дуга
цепной линии симметрична относительно оси
O
Y
,
и применяя формулу (3.49), получим
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+π=
−−
∫
dxeeee
a
P
a
x
a
x
a
a
x
a
x
2
0
4
1
1
2
4
π
∫
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
a
a
x
a
x
dxeea
0
2
=
=
0
22
2
2
2
a
a
x
a
x
exe
a
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⋅π
−
=
()
4
2
22
2
+−
⋅π
−
ee
a
.
Пример 2. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением
вокруг оси
O
Y
одной «арки» циклоиды:
()
ttax sin
−
= ,
(
)
tay cos1
−
= ,
(
)
π
≤
≤
20 t (см. рис. 53).
Рис. 71

Страницы