Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

158
() ()
dtttV ϕ
′
⋅=
∫
β
α
2
ψπ , (3.45)
где α и β таковы, что
()
a=αϕ и
(
)
b
=
β
ϕ
.
Пример 4. Вычислить объём тела, образованного вращением одной ар-
ки циклоиды
(
)
ttax sin−= ,
(
)
tay cos1
−
=
вокруг её основания (рис. 69).
Рис. 69
Решение.
Объём этого тела вычисляется по формуле (3.45). Следова-
тельно,
=
′
π=
∫
π
dtxyV
t
2
0
2
π
()
dtta
∫
π
−
2
0
3
3
cos1=
π
()
dtttta
∫
π
−+−
2
0
323
coscos3cos31=
= π
32
0
2
33
2sin
3
1
2sin
4
3
sin4
2
5
atttta π=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++−
π
.
3.3.4. Вычисление площади поверхности вращения
Пусть в плоскости XO
Y
дана спрямляемая кривая
A
B , заданная урав-
нением
()
xfy =
, b
x
a ≤≤ , где функция
(
)
xf
непрерывна вместе со своей
производной на сегменте
[]
ba,. Для простоты рассуждений будем считать,
что кривая
A
B
расположена над осью O
(рис. 70).
Рис. 70
Если кривую
A
B вращать вокруг оси O
, то она опишет некоторую
поверхность, которую будем называть
поверхностью вращения. Требуется
вычислить площадь P этой поверхности.
Предварительно дадим определение площади поверхности вращения. С
этой целью разобьём промежуток
[
]
ba, на n произвольных частей точками
bxxxxxxa
nii
=
<
<
<
<
<
<<=
+
......
1210
,

Страницы