Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 157 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

157
Пример 3. Найти объём тора (кольца), образуемого вращением круга
()
44
2
2
≤−+ yx
вокруг оси O
X
(рис. 68).
Рис. 68
Решение.
Круг (заштрихован) можно рассматривать как разность двух
криволинейных трапеций, ограниченных снизу отрезком
[]
2,2− оси O
X
,
прямыми 2−=
x
и 2=
x
, а сверху верхней полуокружностью
2
44 xy −+=
и нижней полуокружностью
2
44 xy −−= . Тогда объём тора определится как
разность двух объёмов, каждый из которых вычисляется по формуле (3.44):
(
)
(
)
dxxdxxV
2
2
2
2
2
2
2
2
4444
∫∫
−−
−−π−−+π= .
Объединяя интегралы и используя симметрию круга относительно оси
O
Y
,
получим
dxxdxxV
∫∫
−π=−π=
2
0
2
2
0
2
4324162
.
Полагаем
t
x
sin2= , td
t
dx cos2= , откуда видно, что 0
=
x
при 0=
t
и 2
=
x
при
2
π
=t
; cледовательно
t
изменяется в пределах от 0 до
2
π
. Тогда
()
2
0
2
2
0
2
0
2
322sin
2
1
642cos164cos432 π=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+π=+π=π=
π
ππ
∫∫
ttdtttdtV (объём тора).
Замечание 2. Пусть кривая, вращением которой образуется тело вра-
щения, задана параметрически:
()
tx ϕ= ,
)
ty
ψ
=
,
β
≤
≤
α
t
.
Предполагая, что на сегменте
[
]
β
α
, функция
)
t
ψ
непрерывна и знако-
постоянна, а функция
()
tϕ имеет непрерывную и знакопостоянную произ-
водную, и применяя к интегралу из (3.44) формулу замены переменной в оп-
ределенном интеграле (см. п. 3.2.6), получим следующую формулу для вы-
числения объёма тела вращения:

Страницы