Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

159
затем впишем в нашу кривую ломаную линию с вершинами
()
iii
yxM ,
ni ,...,2,1,0= . Вместе с кривой будем вращать вокруг оси O
X
и эту ломаную,
в результате она опишет поверхность, составленную из
n усечённых конусов
(в частном случае вырождающихся в цилиндры или конусы), площадь боко-
вой поверхности которых вычисляется по известным нам правилам элемен-
тарной геометрии.
Пусть по-прежнему
{
}
i
x
i
Δ
=λ max
– длина наибольшего частичного
промежутка, где
iii
xxx −
=
Δ
+1
.
Под
площадью поверхности вращения кривой будем понимать ко-
нечный предел (если этот предел существует) площади поверхности враще-
ния ломаной при 0→λ .
Таким образом, если через
n
P
обозначить площадь поверхности враще-
ния ломаной, то, согласно определению площади поверхности вращения кри-
вой будем иметь
n
PP
0
lim
→λ
=
. (3.46)
Площадь боковой поверхности усечённого конуса, образованного
вращением
i -го звена, равна
(
)
(
)
iii
lxfxf
⋅
+
π
+
2/)(2
1
, где
i
l – длина хорды
1+ii
MM . (Из этой формулы как частный случай получаются формулы для
боковой поверхности цилиндра или конуса). Эта длина (как нам известно из
аналитической геометрии) выражается формулой
()()()
[]
2
1
2
1
iiiii
xfxfxxl −+−=
++
.
Но по теореме Лагранжа
(
)
(
)
(
)
iii
fxfxf
ξ
=
−
+1
(
)
ii
xx
−
+1
,
1+
≤ξ≤
iii
xx .
Тогда
()
iii
xfl Δξ
′
+=
2
1
, где
iii
xxx
−
=
Δ
+1
. Значит, для площади поверхно-
сти вращения ломаной будем иметь
(
)
(
)
()
ii
ii
n
i
n
xf
xfxf
P Δξ
′
+
+
π=
+
−
=
∑
2
1
1
0
1
2
2 . (3.47)
Можно показать, что переходя в равенстве (3.47) к пределу при 0→λ ,
получим
() ()
dxxfxfP
b
a
2
12π
′
+=
∫
(3.48)
или
()
dxxyyP
b
a
2
12π
′
+=
∫
. (3.49)
Аналогично, если кривая задана уравнением
(
)
yx
ϕ
=
(CD – дуга этой
кривой, не пересекающая оси
O
Y
, c и d – соответственно ординаты точек
C
и
D
()
dc < и
()
0≥ϕ y имеет непрерывную производную на сегменте
[
]
dc,,
то площадь поверхности, образуемой вращением дуги
CD вокруг оси O
Y
,
будет вычисляться по формуле

Страницы