ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
161
Решение. Находим:
(
)
tax cos1
−
=
′
,
tay sin
=
′
и с помощью формулы
(3.51) получаем
()()
dttatataP
22
2
2
2
0
sincos1cos12 +−−π=
∫
π
=
π
2
()
dt
t
ta
2
sincos12
2
0
2
∫
π
− =
=
π8
∫
π2
0
32
2
sin
dt
t
a =
8
π
0
2
32
2
cos
3
2
2
cos2
π
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
tt
a
= π
3
64
2
a .
Пример 3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кар-
диоиды
()
θ
+=ρ cos1a вокруг полярной оси (см. рис. 59).
Решение. Из уравнения кардиоиды находим
θ−=ρ
′
θ
sina , так что
2
2
θ
ρ
′
+ρ =
2
cos4
22
θ
a .
Тогда по формуле (3.52) получим
θρ
′
+ρθρπ=
∫
π
θ
dP
0
2
2
sin2
=
π
4
()
θ
θ
θ⋅θ+
∫
π
da
2
cossincos1
0
2
=
=
π16
∫
π
θ
θθ
0
42
2
sin
2
cos
da =
π
−
32
0
5
2
5
cos
π
θ
a
= π
5
32
2
a .
В п. 3.3 мы рассмотрели только некоторые применения определенного
интеграла в геометрии. Приложения определенных интегралов в механике,
физике изложены, например, в [ 4 ].
ЛИТЕРАТУРА
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. –
М.: Наука, 1978. – Т.1. – 456 с.
2.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное
исчисление. – М.: Наука, 1988. – 432 с.
3.
Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического ана-
лиза. – М.: Наука, 1973. – 720 с.
4.
Смирнов В.И. Курс высшей математики. – М.: Наука, 1974. – Т. 1. –
479 с.
