Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

73
Пример 4. Найти
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
→
1
1
ln
1
lim
1
xx
x
.
Решение. Имеем неопределенность вида ∞ – ∞. Преобразуем выраже-
ние, стоящее в скобках
()
xx
xx
xx ln1
ln1
1
1
ln
1
−
−
−
=
−
−
– получаем уже неопределенность вида
0
0
.
Применяя правило Лопиталя дважды, находим
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
→
1
1
ln
1
lim
1
xx
x
()
xx
xx
x
ln1
ln1
lim
1
−
−
−
=
→
x
x
x
x
x
1
ln
1
1
lim
1
−
+
−
=
→
x
xxx
x
x
x
1ln
1
lim
1
−+
−
=
→
=
=
−+
−
=
→
1ln
1
lim
1
x
x
x
x
x
=
+⋅+
→
1
1
ln
1
lim
1
x
xx
x
2
1
110
1
=
+
+
Пример 5. Найти
(
)
xx
x
3
lnlim −
∞→
.
Решение. Имеем неопределенность вида ∞ – ∞. Применим второй прием:
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−
∞→∞→
x
x
xxx
xx
3
3
ln
1limlnlim .
Так как
1
1
ln3
lim
ln
lim
2
3
x
x
x
x
xx
⋅
=
∞→∞→
x
x
x
2
ln
lim3
∞→
=
1
1
ln2
lim3
x
x
x
⋅
=
∞→
x
x
x
ln
lim6
∞→
= =
0
1
lim6 ==
∞→
x
x
, то есть ≠1, то
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=−
∞→∞→
x
x
xxx
xx
3
3
ln
1limlnlim = ∞.
Раскрытие неопределенностей вида
0
0
,
0
∞
,
∞
1 .
Пусть надо найти предел вида
(
)
[
]
(
)
xg
ax
xf
→
lim (где
(
)
0>xf
в некоторой
окрестности точки
a
) в одном из следующих трех случаев:
а)
()
0lim =
→
xf
ax
,
()
0lim =
→
xg
ax
(неопределенность вида 0
0
);
б)
()
∞=
→
xf
ax
lim
,
()
0lim =
→
xg
ax
(неопределенность вида
∞
0
);
в)
()
1lim =
→
xf
ax
,
()
∞=
→
xg
ax
lim (неопределенность вида
∞
1).
Неопределенности этих видов сводятся к неопределенности вида
0
∞
,
которая была рассмотрена выше. Это достигается с помощью тождества
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
xfxg
xg
exf
ln
= . (2.29)

Страницы