Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

71
Решение. а) Имеем неопределенность вида
0
0
. Для вычисления предела
применим дважды правило Лопиталя:
2
2
2
2
000
cos
cos
lim
sin
sin
lim
cos1
cos1
lim
b
a
bxb
axa
bxb
axa
bx
ax
xxx
===
−
−
→→→
.
б) Имеем неопределенность вида
∞
∞
. Применяя 2 раза правило Лопита-
ля, получим
=
⋅
=
∞→∞→
23
2
3
1
ln2
lim
ln
lim
x
x
x
x
x
xx
=
∞→
3
3
ln2
lim
x
x
x
0
1
lim
9
2
3
1
lim
3
2
32
==
∞→∞→
x
x
x
xx
.
в) Имеем неопределенность вида
∞
∞
. Применим правило Лопиталя:
0
0
3cos
5cos
lim
5
3
3cos5
5cos3
lim
5cos
5
3cos
3
lim
5
3
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
22
====
π
→
π
→
π
→
π
→
x
x
x
x
x
x
xtg
xtg
xxxx
.
Для раскрытия неопределенности вида
0
0
еще раз применим правило
Лопиталя, предварительно преобразовав дробь
.
3
5
1
1
3
5
3sin
5sin
lim
9
25
5
3
3sin3
5sin5
lim
5
3
3cos
5cos
lim
5
3
3cos
5cos
lim
5
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
π
→
π
→
π
→
π
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xxx
Замечание 3. Применяя правило Лопиталя, надо дифференцировать не
дробь, а отдельно ее числитель и знаменатель.
Замечание 4. На каждом этапе применения правила Лопиталя следует
пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями,
а также комбинировать это правило с любыми другими приемами вычисле-
ния пределов.
Раскрытие неопределенности вида
∞
⋅
0
Пусть
()
0lim =
→
xf
ax
, а
(
)
∞
=
→
xg
ax
lim (запись a
x
→ может означать здесь
также и ∞→
x
()
−∞∞+ ,). Рассмотрим вопрос о вычислении предела вида:
() ()
[]
xgxf
ax
⋅
→
lim (неопределенность вида
∞
⋅
0).
Если искомое выражение переписать в виде
() ()
[]
(
)
()
xg
xf
xgxf
axax
/1
limlim
→→
=⋅

Страницы