Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

70
Замечание 1. Правило Лопиталя применимо и в том случае, если
∞→
x
, +∞→
x
, −∞→
x
[1].
Раскрытие неопределенностей вида
0
0
и
∞
∞
Пример 1.
Применяя правило Лопиталя, найти предел функции
()
x
ee
axax
x
+
−
−
→
1ln
lim
2
0
(
)
const
=
a .
Решение. Здесь обе функции
(
)
axax
eexf
2−
−=
и
(
)()
xxg +
=
1ln
– бесконечно
малые в окрестности нуля, так как
(
)
011lim
0
=
−
=
→
xf
x
;
()
01lnlim
0
=
=
→
xg
x
.
Далее
()
axax
aeaexf
2
2
−
+=
′
и
()
x
xg
+
=
′
1
1
существуют во всякой окре-
стности точки 0
=
x
, не содержащей точки 1
−
=
x
, причем
()
0
1
1
≠
+
=
′
x
xg
()
1−>x .
Наконец, существует предел отношения производных:
()
()
()
a
x
aeae
xg
xf
axax
xx
3
1
1
2
limlim
2
00
=
+
+
=
′
′
−
→→
.
Поэтому применимо правило Лопиталя:
()
()
a
x
aeae
x
ee
axax
x
axax
x
3
1
1
2
lim
1ln
lim
2
0
2
0
=
+
+
=
+
−
−
→
−
→
. (∗)
Замечание 2. Вычисление предела отношения по правилу Лопиталя
обычно записывают сразу так, как это сделано в (∗). В существовании нуж-
ных производных и пределов убеждаются в самом ходе вычислений. Если
при этом отношение производных
(
)
()
xg
xf
′
′
снова представляет собой неопреде-
ленность, то правило Лопиталя применяют повторно, пока не устранится не-
определенность или обнаружится, что нужные пределы не существуют. По-
этому в дальнейшем приводится только запись необходимых преобразова-
ний, а проверка выполнения условий их применимости предоставляется чи-
тателю.
Пример 2. Применяя правило Лопиталя, найти пределы функций:
а)
bx
ax
x
cos1
cos1
lim
0
−
−
→
()
const,
−
ba ; б)
3
2
ln
lim
x
x
x ∞→
; в)
x
x
x
5tg
3tg
lim
2
π
→
.

Страницы