Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

69
Дифференциальное исчисление значительно облегчает задачу раскры-
тия неопределенностей, предоставляя в наше распоряжение эффективный
способ раскрытия неопределенностей правило Лопиталя.
Пусть при a
x
→ функции
(
)
xf и
(
)
xg обе бесконечно малые или обе
бесконечно большие. Тогда их отношение не определено в точке a
x
= и в
этом случае говорят, что оно представляет собой неопределенность вида
0
0
или соответственно
∞
∞
.
Раскрыть неопределенность вида
0
0
в точке a
x
=
означает найти
()
()
xg
xf
ax→
lim , когда
(
)
0lim
=
→
xf
ax
и
(
)
0lim
=
→
xg
ax
.
Раскрыть неопределенность вида
∞
∞
в точке
x
a
=
означает найти
()
()
xg
xf
ax→
lim , если
(
)
∞
=
→
xf
ax
lim и
(
)
∞
=
→
xg
ax
lim .
Одним из способов раскрытия неопределенностей типа
0
0
и
∞
∞
является
правило Лопиталя.
Правило Лопиталя
Если функции
()
xf
и
()
xg
таковы, что
1)
()
0lim =
→
xf
ax
и
()
0lim
=
→
xg
ax
или
()
±∞=
→
xf
ax
lim
и
()
∞
=
→
xg
ax
lim
.
2.
Они имеют первые производные в окрестности точки a
x
= (за ис-
ключением самой точки a ) и
(
)
0
≠
′
xg для всех точек этой окрестности.
3.
Существует предел отношения производных
(
)
()
xg
xf
ax
′
′
→
lim k= (конечный
или бесконечный).
Тогда отношение функций
(
)
()
xg
xf
также имеет предел, и он равен
k
, т. е.
(
)
()
(
)
()
k
xg
xf
xg
xf
ax
=
′
′
=
→→
limlim
ax
.
Сущность этого правила состоит в том, что в случае неопределенностей
вида
0
0
и
∞
∞
вычисление предела отношения функций, при соблюдении ука-
занных требований, заменяется вычислением предела отношения их произ-
водных, которое в большом числе случаев оказывается проще.

Страницы