Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

68
Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа (рис. 24). Левая
часть равенства (2.28) есть тангенс угла
α
между секущей
A
B и осью O
X
,
то есть αtg . Правая же часть, как известно, есть тангенс угла
α
′
между каса-
тельной в точке
()
(
)
cfc, и осью O
X
, то есть
(
)
α
′
=
′
tgcf . Следовательно,
αtg
α
′
= tg или α
′
=
α . Иначе: на дуге
A
B найдется точка, в которой каса-
тельная параллельна секущей
A
B . Таких точек может быть и несколько.
Замечание 1. Легко видеть, что теорема Ролля является частным слу-
чаем теоремы Лагранжа, когда секущая
A
B параллельна оси O
X
, то есть ко-
гда
() ()
afbf = .
Теорема 4 (Коши). Пусть на
[
]
ba, заданы функции
()
xf
и
()
xg
, при-
чем: 1)
()
xf и
()
xg непрерывны на
[
]
ba,; 2) на
(
)
ba, существуют конечные
производные
()
xf
′
и
()
xg
′
и, кроме того,
(
)
0
≠
′
xg . Тогда внутри
[]
ba, най-
дется такая точка c , что имеет место следующее равенство:
(
)
(
)
() ()
(
)
()
cg
cf
agbg
afbf
′
′
=
−
−
.
Это равенство называют
формулой Коши.
Замечание 2. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы
Коши (при
()
xxg = ).
Рис. 24
Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши часто называют
теоремами о сред-
них значениях
.
2.2.2. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
Как отмечено в п. 1.4, раскрытие неопределенностей в некоторых слу-
чаях представляло собой значительную трудность. Основная трудность за-
ключалась в том, что мы не могли указать общего способа решения задачи. В
большинстве случаев приходилось изыскивать различные способы и приемы
раскрытия неопределенностей в зависимости от вида неопределенности, а
также и от конкретного примера
.

Страницы