Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

66
(
)
(
)
dxxxdxxxdxydy 32264
33
−=−=
′
= .
В первом случае под dx понимается приращение независимой пере-
менной
()
xdxx Δ=Δ
, во втором случае – дифференциал от
x
как от функции
()
xdx Δ≠ .
Так как дифференциалы высших порядков не обладают свойством ин-
вариантности, то при отыскании
yd
2
рассмотрим два случая.
1. Пусть
x
– независимая переменная. Тогда, имея в виду, что в этом
случае dx является постоянной величиной и ее можно выносить за знак диф-
ференциала, получим
()
(
)
[
]
(
)
()()
.126362
322322
222
332
dxxdxxdx
xxddxdxxxddydyd
−=−=
=−⋅=−==
2. Пусть
x
является функцией от другой переменной. В этом случае
величина dx уже не будет постоянной и выносить ее за знак дифференциала,
как мы это делали в первом случае, нельзя. Нужно вычислить дифференциал
от
(
)
dxxxdxy 322
3
−=
′
как от произведения двух переменных. Получим
()
(
)
[
]
dxxxddydyd 322
32
−==
(
)
[
]
dxxxd 322
3
−= =
(
)
(
)
(
)
[
]
dxdxxdxxxd 32322
33
−+−= =
(
)
(
)
[
]
xdxxdxdxx
232
321232 −+⋅− =
(
)
(
)
xdxxdxx
2322
322126 −+−= .
2.2. Применения дифференциального исчисления
к исследованию функций
2.2.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема 1 (Ферма).
Пусть функция
(
)
xfy
=
определена на некотором
промежутке X и во внутренней точке
0
x этого промежутка имеет наиболь-
шее или наименьшее значение. Тогда, если в точке
0
x существует конечная
производная, то она равна нулю, то есть
(
)
0
xf
=
0.
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точке на
кривой, имеющей абсциссу
0
x (с указанным в теореме свойством), касатель-
ная к кривой
()
xfy =
, если она существует, оказывается параллельной оси
O
X
(см. рис. 22).
Теорема 2 (Ролля). Пусть на
[
]
ba, определена функция
()
xfy =
, причем:
1)
()
xf непрерывна на
[
]
ba,;
2)
на
()
ba, существует конечная производная
(
)
xf
;
3)
() ()
bfaf = .
Тогда внутри
[]
ba, найдется такая точка c , что
(
)
0=
cf .

Страницы