Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

65
Вообще
дифференциалом n-го порядка называется первый диффе-
ренциал от дифференциала (n – 1)-го порядка и обозначается
yd
n
, то есть
(
)
yddyd
nn 1
−
= . (2.21)
Выражение для yd
2
можно получить из (2.17) с помощью дифференцирова-
ния, рассматривая в (2.17) dx как постоянный множитель:
()
dydyd =
2
=
()()
dxdxxf
′
′
=
()
dxdxxf ⋅
′′
=
(
)
2
dxxf
′′
= . Итак,
(
)
22
dxxfyd
′′
= . (2.22)
Из (2.22) найдем выражение для yd
3
:
(
)
()
[
]
()
3223
dxxfdxdxxfyddyd
′′′
=
′
′′
== .
Итак,
=yd
3
(
)
3
dxxf
′′′
. (2.23)
Методом математической индукции из (2.21) легко вывести, что
(
)
nnn
(x)dxfyd =
. (2.24)
Под обозначениями
2
dx ,
3
dx ,...,
n
dx следует понимать степени диффе-
ренциала dx , то есть
()
2
dx ,
()
3
dx ,...,
(
)
n
dx .
Замечание 3. Формулы (2.22) – (2.24) справедливы только тогда, когда
x
является независимой переменной. Действительно, пусть имеем сложную
функцию
()
uFy = ,
(
)
xu
ϕ
=
. (2.25)
Мы видели, что дифференциал первого порядка имеет инвариантную
форму, независимо от того, будет ли u независимой переменной или функ-
цией от
x
:
(
)
duuFdy
u
=
. (2.26)
Дифференциал второго порядка и последующие дифференциалы этим
свойством не обладают.
Действительно, на основании (2.25) и (2.26) получаем
()()
duuFdyd
u
′
=
2
. Но здесь
(
)
dxxdu
ϕ
= зависит от
x
, и потому мы получаем
()() ()()
duduFduuFdyd
uu
′
+
′
=
2
или
(
)
(
)
(
)
uduFduuFyd
uuu
2
2
2
′
+
′′
= , (2.27)
где
()( )
2
2
dxxud ϕ
′′
= .
Аналогичным образом находятся
yd
3
и т. д.
Пример 4. Найти дифференциалы dy , yd
2
от функции 23
24
+−= xxy
в случаях, когда:
1)
x
– независимая переменная,
2)
x
– функция от другой независимой переменной.
Решение. Дифференциал первого порядка dy в силу свойства инвари-
антности его формы записывается в обоих случаях одинаково:

Страницы