Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

63
Пример 2. Вычислить приближенное значение 130sin
′
o
.
Решение. Воспользуемся формулой (2.16). В данном примере
()
xxf sin= ,
()()
xxxxf Δ+=Δ+ sin ,
(
)
xxf cos
=
′
, тогда
()
xxxxx
Δ
+
≈
Δ
+ cossinsin .
Полагая в этой формуле
6
30
π
==
o
x , 00029,01
=
′
=
Δ
x , а 50000,030sin =
o
;
учитывая, что
86602,02/330cos ==
o
, получим
50025,000029,086602,050000,0130sin =⋅+=
′
o
.
До сих пор мы говорили лишь о дифференциале функции. Введем по-
нятие дифференциала независимого переменного.
Определение 2. Дифференциалом dx независимого переменного x
называется его приращение, то есть по определению
Δ
xdx
=
.
Замечание 2. Целесообразность именно такого определения для dx
может быть мотивирована тем, что для функции
x
y
=
дифференциал dy как
раз равен
x
Δ :
xxxydy
Δ
=Δ⋅=
Δ
′
= 1
.
Используя определение 2, можно выражение дифференциала функции
представить в следующем окончательном виде:
(
)
dxxfdy
′
=
. (2.17)
Из (2.17) следует, что
()
dx
dy
dxdyxf =÷=
′
, то есть, что производная дан-
ной функции равна частному от деления дифференциала от этой функции на
дифференциал независимого переменного. Тем самым обозначение произ-
водной через
dx
dy
перестает теперь быть лишь символом, а становится обыч-
ным обозначением частного.
Из формулы (2.17) следует, что задача нахождения дифференциала
функции равносильна нахождению производной, так как умножив послед-
нюю на дифференциал аргумента, получим дифференциал функции. Следо-
вательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, со-
храняют свою силу и для дифференциалов [1–3].
Так, например, правила для
нахождения дифференциалов имеют вид:
1)
cducud
=
(
)
const
=
c ,
2)
dvduvud
±
=
±
, (2.18)
3)
udvvduvud
+
⋅
=
⋅
, (2.19)
4)
2
v
udvvdu
v
u
d
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
. (2.20)
Пример 3. Найти дифференциал функции
(
)
()
(
)
2
2
2
1lnarctg2arctg1 xxxxxy ++−⋅+= .
Решение. Применяя (2.18) и (2.19), найдем

Страницы