Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

62
(
)
xxfdy Δ
⋅
′
=
. (2.14)
Правая часть равенства (2.14) представляет собой произведение двух
переменных величин: производной
(
)
xf
′
, которая зависит от
x
, и прираще-
ния аргумента
x
Δ , которому можно придавать произвольные значения. По-
этому дифференциал функции есть функция двух независимых переменных:
аргумента
x
и его приращения
x
Δ
.
Согласно введенному обозначению дифференциала (2.14), равенство
(2.13) можно переписать в виде:
x
dyy
Δ
⋅
α
+
=
Δ
. (. )213
Это равенство показывает, что, вообще говоря, надо различать
прира-
щение
функции и ее дифференциал, который является лишь главной ча-
стью
этого приращения. Однако при достаточно малом
x
Δ
мы можем поль-
зоваться приближенным равенством
dyy
≈
Δ
, (2.15)
которое дает тем лучшее приближение для
y
Δ
, чем меньше
x
Δ .
Соотношение (2.15) широко применяется в теории приближенных вы-
числений. Его можно переписать так:
(
)
(
)()
xxfxfxxf Δ
′
≈
−
Δ
+
или
(
)
(
)
(
)
xxfxfxxf
Δ
′
+
≈
Δ
+
. (2.16)
Пример 1.
Найти приращение и дифференциал функции 13
3
−+= xxy
в точке 1
=
x
при 1,0=
Δ
x
. Найти абсолютную и относительную погрешности,
которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение.
()()
xyxxyy −Δ+=Δ
(
)
(
)
[
]
13
3
−Δ++Δ+= xxxx
(
)
13
3
−+− xx =
x
x
x
x
x
x
Δ
+
Δ+
Δ
+Δ=
322
399
=
(
)
322
3919 xxxxx Δ+Δ+Δ+ .
dy
α
⋅
Δ
x
Таким образом,
(
)
xxdy Δ+= 19
2
. Отсюда
32
39 xxxdyy Δ+Δ=−Δ . При
1=
x
и
1,0=Δ
x
получаем 093,0003,009,0
=
+
=
−
Δ
dyy , 1=dy ; 093,1
=
Δy .
Определим абсолютную погрешность, которую мы допустим, если прираще-
ние функции заменим дифференциалом функции dy . Эта погрешность равна
093,0=−Δ dyy . Относительная погрешность равна
085,0
093,1
093,0
≈=
Δ
−Δ
y
dyy
или %5,8.
Замечание 1. Определение дифференциала функции вместо ее при-
ращения дает значительную экономию в вычислениях, а допускаемая при
этом погрешность будет тем меньше, чем меньше приращение аргумента.

Страницы