Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

61
Определение 2. Эластичностью функции
(
)
xfy
=
относительно пе-
ременной
x
называется предел
()
xf
y
x
x
x
y
y
x
′
=
Δ
Δ
→Δ 0
lim . Его обозначают
() ()
dxdyyxxfyxyE
x
/)/()/( =
′
= . Эластичность относительно
x
есть при-
ближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), со-
ответствующий приращению независимой переменной на 1 %.
Пример 14. Вычислить эластичность функции 63
−
=
x
y .
Решение. Находим 3=
′
y ,
()
2
3
63 −
=⋅
−
=
′
⋅=
x
x
x
x
y
y
x
yE
x
. Если, на-
пример, 10
=
x
, то
()
()
25,1
210
10
=
−
=yE
x
. Это означает, что если
x
возрастает
на 1 %, то
y увеличивается на 1,25 %. Если предприятие производит
x
еди-
ниц какого-либо товара и определена функция полных затрат, то эластич-
ность полных затрат
()
x
k
dx
dk
dx
dk
k
x
EkE
kx
=⋅== . Следовательно, эластичность
полных затрат есть отношение предельных издержек к средним издержкам.
2.1.3. Дифференциал функции
Пусть дана функция
(
)
xfy = , имеющая в данной точке
x
конечную
производную
()
xf
′
. Так как
()
x
y
xf
x
Δ
Δ
=
′
→Δ 0
lim , то, согласно теореме 1, рассмот-
ренной в п. 1.3, можно записать
(
)
xxxfy
Δ
⋅
α
+
Δ
′
=
Δ
, (2.13)
где 0
→α при 0→Δ
x
.
При данном
x
приращение y
Δ
есть функция только от
x
Δ . При этом
оба слагаемых в правой части (2.13) стремятся к нулю при 0
→
Δ
x
и являются
величинами бесконечно малыми. Так как при данном
x
()
xxf
x
x
Δ
′
Δ
⋅
→Δ 0
lim
=
()
xf
′
α
→α 0
lim
=0 ,
то бесконечно малая
x
Δ⋅α будет более высокого порядка, чем бесконечно
малая
()
xxf Δ
′
.
На этом основании первое слагаемое в правой части формулы (2.13) на-
зывают
главной линейной частью приращения функции.
Определение 1. Главная линейная часть приращения функции, равная
произведению производной этой функции в выбранной точке на приращение
независимой переменной, называется
дифференциалом функции в некото-
рой точке
и обозначается символом dy или
(
)
xdf .
Таким образом, по определению

Страницы