Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

64
).1ln()arctg(2
arctg)2()arctg()1()arctg()1(
2
2222
xdxx
xxdxdxxxddy
++⋅−
−⋅−++⋅+=
Применяя соответствующие формулы для отыскания производных,
мы теперь отсюда выводим с помощью (2.17):
()
(
)
()
.arctg2
1
2
1
2
arctg2
1
1
arctg12arctg2
2
22
2
2
2
dxxxdx
x
x
dx
x
x
dxxdx
x
xxdxxxdy
=
+
+
+
−
−⋅−
+
⋅++=
.
Здесь можно было и не пользоваться формулами (2.18) и (2.19), а най-
ти сначала y
′
и затем составить dxydy
′
=
. Проделайте это самостоятельно.
Инвариантность формы дифференциала
Найдем выражение для дифференциала сложной функции. Пусть
()
ufy = ,
()
xu ϕ= или
(
)
[
]
xfy
ϕ
= . Тогда по правилу дифференцирования
сложной функции
(
)
(
)
xufdxdy
u
ϕ
′
′
=/, следовательно,
() ()
dxxufdy
u
ϕ
′′
= ; но
()
dudxx =ϕ
′
, поэтому
(
)
duufdy
′
=
.
Таким образом, дифференциал сложной функции имеет тот же вид, ка-
кой он имел бы в том случае, если бы промежуточный аргумент и был неза-
висимой переменной. Иначе говоря,
форма дифференциала не зависит от
того, является аргумент функции независимой переменной или функци-
ей другого аргумента
. В этом и заключается свойство инвариантности (не-
изменяемости) формы дифференциала
функции.
Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим функцию
(
)
xfy
=
, где
x
– независимая переменная. Диф-
ференциал этой функции имеет вид (2.17). Поскольку
x
– независимая пере-
менная, то
x
dx Δ= и может быть взят произвольным, независимо от того или
иного выбора
x
. Поэтому мы можем в (2.17), зафиксировав dx , считать
x
по-
прежнему переменным. В таком случае dy будет функцией от одного пере-
менного
x
и мы имеем право говорить о дифференциале этой функции.
Определение 3. Дифференциал от дифференциала функции
(
)
xfy
=
называется
дифференциалом второго порядка и обозначается через yd
2
или
()
xfd
2
, то есть
(
)
dydyd =
2
. Дифференциал dy в связи с этим, естест-
венно теперь называть
дифференциалом первого порядка.
Дифференциал от дифференциала второго порядка называется
диффе-
ренциалом третьего порядка
и обозначается yd
3
или
()
xfd
3
, то есть
(
yddyd
23
=
.

Страницы