Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

75
2.2.3. Формула Тейлора.
Приложение к приближенным вычислениям
Если функция
()
xf непрерывна и имеет на отрезке
[
]
ba, непрерывные
производные до (
n)-го порядка включительно, а в каждой внутренней точке
отрезка имеет конечную производную (
n + 1)-го порядка, то при
[
]
bax ,∈
справедлива формула Тейлора:
() () ()
()
()
(
)
()
(
)
()
()
()
()
,
!
...
...
!3!2!1
32
xR
n
ax
af
ax
af
ax
af
ax
afafxf
n
n
n
+
−
+
+
−
′′′
+
−
′′
+
−
′
+=
где
()
xR
n
называется остаточным членом формулы Тейлора. Существуют
различные формы остаточного члена.
Чаще всего пользуются остаточным членом в форме Лагранжа:
()
()
()
()
()
1
1
!1
+
+
−
+
ξ
=
n
n
n
ax
n
f
xR , где точка ξ лежит между точками а и х, то есть
()
axa −θ+=ξ , причем 10 <θ< .
Если положить в этой формуле 0
=
a , то получим формулу Маклорена
() () () () ()
++
′′′
+
′′
+
′
+= ...
!3
0
!2
000
32
x
f
x
fxffxf
()
!
0
n
x
f
n
n
()
xR
n
+ ,
где
()
()
()
()
xf
n
x
xR
n
n
n
θ
+
=
+
+
1
1
!1
(остаточный член в форме Лагранжа).
Формула Маклорена дает разложение функции по степеням самой не-
зависимой переменной.
Приведем разложения некоторых функций по формуле Маклорена:
()
xR
n
xxxx
e
n
n
x
++++++=
!
...
!3!2!1
1
32
,
где
()
()
1
!1
+
θ
+
=
n
x
n
x
n
e
xR ;
(
)
()
()
xR
m
xxxx
x
m
m
m
2
12
1
53
!12
1
...
!5!3!1
sin +
−
−
+−+−=
−
+
,
где
() ( )
()
!12
cos1
12
2
+
⋅θ−=
+
m
x
xxR
m
m
m
;
(
)
()
()
xR
m
xxxx
x
m
m
m
12
2642
!2
1
...
!6!4!2
1cos
+
+
−
++−+−= ,
где
() ( )
()
!22
cos1
22
1
12
+
⋅θ−=
+
+
+
m
x
xxR
m
m
m
;

Страницы