Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

76
()
(
)
+
−
++=+
2
!2
1
!1
11 x
mm
x
m
x
m
(
)
(
)
...
!3
21
3
+
−
−
x
mmm
(
)
(
)
[]
()
xRx
n
nmmm
n
n
+⋅
−
−−
+
!
1...1
... ,
где
()
()( )
()
()
1
1
1
!1
...1
−−
+
θ+
+
−−
=
nm
n
n
xx
n
nmmm
xR
(всюду 10
<
θ
<
).
Так как среди всех функций многочлены являются особенно простыми,
то приближенное представление функций многочленами занимает важное
место в математическом анализе и его приложениях. Формула Тейлора по-
зволяет приближенно представить функцию
(
)
xfy
=
при определенных ус-
ловиях в виде многочлена:
() ()
(
)
()
(
)
(
)
()
0
!
...
!1
n
n
ax
n
af
ax
af
afxf −⋅++−
′
+≈ ,
где
0
n
– минимальный из номеров n , для которых
(
)
ε<xR
n
, где ε – задан-
ная точность.
Пример 1. Представить функцию
(
)
3
xxf = в виде многочлена пятой
степени относительно двучлена 1
−
x
.
Решение. Вычислим значения функции
()
3
1
xxf =
и ее производных
до пятого порядка включительно при 1
=
a :
(
)
11
=
f ,
()
()
3
2
3
1
−
=
′
xxf
,
()
3
1
1 =
′
f ;
()
()
3
5
9
2
−
−=
′′
xxf ,
(
)
9
2
1
−=
′′
f ;
()
(
)
3
8
27
10
−
=
′′′
xxf ,
()
27
10
1
=
′′′
f ;
()
()
3
11
IV
81
80
−
−= xxf ,
()
81
80
1
IV
−=f ;
()
(
)
3
14
V
243
880
−
= xxf ,
()
243
880
1
V
=f .
Следовательно, по формуле Тейлора получим
() () ()
() () ()
xRxx
xxxx
5
54
32
3
1
!5243
880
1
!481
80
1
!327
10
1
!29
2
1
3
1
1
+−
⋅
+−
⋅
−
−−
⋅
+−
⋅
−−+=
,
где
()
()
() ()
6
3
17
6
VI
5
1
!6729
12320
1
!6
−ξ
⋅
−=−
ξ
=
−
xx
f
xR ,
x
<
ξ
<
1.
Формула Тейлора широко используется при вычислении значений
функции с заданной степенью точности [5–6].
Пример 2. Вычислить с точностью до
3
10
−
=ε приближенное значение
3
29 .
Решение. Представим заданный корень так:
()
3/1
33
2721322729 +=+= .
Воспользуемся биномиальным разложением
()
()
(
)
(
)
[
]
()
xRx
n
nmmm
x
mm
x
m
x
n
n
m
+
−
−
−
++
−
++=+
!
1...1
...
!2
1
!1
11
2
.

Страницы