Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

78
собой неравенство
() ()
21
xfxf > . Если же из неравенства
21
xx < следует не-
равенство
() ()
21
xfxf ≥ , то функция называется невозрастающей на этом
промежутке.
Функции возрастающие и убывающие, а также функции неубывающие
и невозрастающие называются
монотонными.
Теорема 1. Пусть на
[
]
ba, определена непрерывная функция
(
)
xf ,
имеющая на
()
ba, конечную производную. Тогда:
1. Для того, чтобы
()
xf была неубывающей (невозрастающей) на
[
]
ba,,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
()
0≥
′
xf
(
)()
0
≤
′
xf
для всех
x
из
()
ba,.
2. Для того, чтобы
()
xf была строго возрастающей (строго убываю-
щей) на
[]
ba,, достаточно, выполнения условия
(
)
0>
′
xf
()()
0<
′
xf
для
всех
x
из
()
ba,.
3. Для того, чтобы
()
xf
была постоянной на
[
]
ba,, необходимо и дос-
таточно
, чтобы
(
)
0=
′
xf для всех
x
из
(
)
ba,.
Замечание 1. Условие
(
)
0>
′
xf
(
)
(
)
0
<
′
xf не является необходимым
для строгого возрастания (убывания) функции. Например, функция
3
xy =
строго возрастает на
()
+∞∞− ,, так как при
21
xx
<
имеем:
3
2
3
1
xx < . Но ее
производная
2
3xy =
′
равна нулю при 0
=
x
. Таким образом, строго монотон-
ная дифференцируемая функция в отдельных точках может иметь производ-
ную, равную нулю (рис. 25).
а б
Рис. 25
Замечание 2.
Если вспомнить, что значение производной
()
xf
′
в дан-
ной точке
0
x есть угловой коэффициент касательной к кривой
(
)
xfy = в
точке
()()
00
, xfx , то рассмотренные условия постоянства и монотонности
функции становятся еще более наглядными. Если на отрезке
[]
ba, функция

Страницы