Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

79
()
xf возрастает, то касательная к кривой
(
)
xfy
=
в каждой точке на этом
отрезке образует с осью
O
X
острый угол
ϕ
или в отдельных точках – гори-
зонтальна; тангенс этого угла не отрицателен:
(
)
0tg ≥
ϕ
=
′
xf (рис. 25, а). Если
функция
()
xf убывает на отрезке
[
]
ba,, то угол наклона касательной – тупой
(или – в отдельных точках – касательная горизонтальна); тангенс этого угла
не положителен (рис. 25,
б).
Теорема 1 позволяет судить о возрастании или убывании функции по
знаку ее производной.
Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции
4
xy = .
Решение. Областью определения данной функции является вся ось
O
X
. Находим производную функции
3
4xy =
′
. Из неравенств 04
3
>
x
и
04
3
<
x
получаем, что данная функция строго возрастает на
()
+∞,0 и строго
убывает на
()
0,∞− . Производная функция
3
4
x
обращается в нуль при 0
=
x
.
В точке 0
=
x
функция переходит от убывания к возрастанию (рис. 26).
Рис. 26
Максимумы и минимумы функций
Пусть функция
()
xf определена в некотором промежутке и
0
x – внут-
ренняя точка этого промежутка.
Определение 3. Точка
0
x называется точкой максимума (минимума)
функции
()
xf , если существует такая окрестность
(
)
δ+
−
00
, xx данной точ-
ки, что для всякого
x
из этой окрестности выполняется соотношение
()
(
)
0
xfxf ≤
(
)
(
)
(
)
0
xfxf ≥ .
Если
() ( )
0
xfxf < ∈∀
x
()
+
−
00
, xx ,
(
)
0
xx
≠
, то
0
x называется точкой
строгого максимума
; в противном случае этот максимум называется не-
строгим
. Аналогично определяются точки строгого и нестрогого минимума.
Само значение
()
0
xf также принято называть максимумом (миниму-
мом) функции и обозначать:
(
)
0max
xf ,
(
)
0min
xf , или просто
max
f и
min
f .

Страницы