Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

81
Рис. 28
Достаточные условия существования экстремума функции
Условимся, что в дальнейшем, говоря об экстремуме функции, мы бу-
дем подразумевать только строгий экстремум (если не будет оговорено про-
тивное).
Теорема 3. Пусть функция
(
)
xf
непрерывна в некотором интервале,
содержащем критическую точку
0
x , и дифференцируема во всех точках этого
интервала (кроме, быть может, самой точки
0
x ). Если при переходе слева на-
право через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при
0
xx = функция имеет максимум. Если же при переходе через точку
0
x слева
направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой
точке минимум. Если производная не меняет знака при переходе через
0
x
, то
экстремума нет.
Схема исследования дифференцируемой функции
на максимум и минимум с помощью первой производной
Сформулируем следующее правило для исследования дифферен-
цируемой функции
()
xfy = на максимум и минимум:
1.
Ищем первую производную функции, то есть
(
)
xf
′
.
2.
Находим критические точки функции
(
)
xf ; для этого:
а) приравниваем первую производную нулю и находим действи-
тельные корни полученного уравнения
(
)
0
=
′
xf
;
б) находим значения
x
, при которых
(
)
∞
=
′
xf или не существует.
3.
Исследуем знак производной слева и справа от критической точки.
Так как знак производной остается постоянным в интервале между двумя

Страницы