Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

83
Это квадратное уравнение имеет два действительных корня:
3,1
21
== xx .
Производная всюду непрерывна. Значит других критических точек нет.
3. Располагаем критические точки в порядке возрастания абсцисс: 1; 3.
Рассмотрим интервалы (-
∞, 1); (1, 3); (3, +∞). Выберем внутри каждого из
этих интервалов произвольную точку и определим в этой точке знак первой
производной по выражению )3()1(34
2
−−=+−=
′
xxxxy .
В интервале (-
∞, 1) возьмем, например, точку x=0: 03)3()1()0( >=−−=
′
y ;
в интервале (1,3) возьмем точку
х=2: 0)1(1)32()12()2( <−
⋅
=
−
−
=
′
y ; в интер-
вале (3, +
∞) возьмем точку х=4:
0111)34()14()4( >
=
⋅
=
−
−
=
′
y
(вместо этих
точек читатель может в каждом из интервалов взять любые другие).
Таким образом, в интервалах первая производная имеет такую после-
довательность знаков: + – +
Значит, при переходе (слева направо) через значение
1
1
=x
производ-
ная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, при
х=1 функция имеет
максимум, а именно
3
7
)1(
max
=y . При переходе через значение х=3 производ-
ная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при
х=3 функция имеет
минимум, а именно 1)3(
min
=y . Результаты исследований сведем в таблицу:
x
(- ∞, 1)
1 (1, 3) 3
(3, + ∞)
y′
+ 0 – 0 +
y
Возрастает Максимум
3
7
)1(
max
=y
Убывает Минимум
1)3(
min
=
y
Возрастает
На основании проведенного исследования строим эскиз графика функ-
ции (рис. 30).
Рис. 30

Страницы