Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

85
2) вычислить значения функции во всех этих точках, а также значения
на концах отрезка, то есть
f(a) и f(b);
3) из всех полученных значений функции выбрать наибольшее и наи-
меньшее.
Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции
52
24
+−= xxy
, заданной на отрезке [-2, 2].
Решение. Исследуем функцию на экстремум. Находим первую произ-
водную:
)1(444
23
−=−=
′
xxxxy . Решаем уравнение 0)1(4
2
=−xx и нахо-
дим стационарные точки:
11,0
321
=
−
=
= xxx
. Других критических точек
нет. Исследуем функцию на экстремум с помощью второй производной. На-
ходим вторую производную: )13(4
2
−=
′′
xy . Так как 04)0( <−
=
′
′
y , то в точке
0
1
=x – максимум, y
max
(0)=5; так как 08)1( >
=
±
′
′
y , то в max точках 1
2
−
=x и
1
3
=x – минимум, y(±1)=4. Определяем значения функции на концах отрезка:
y(-2)=y(2)=13.
Сравнивая экстремальные значения функции и значения на концах, за-
ключаем, что
y=4 является наименьшим, а y=13 – наибольшим значениями
функции на указанном отрезке.
Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба
Рассмотрим на плоскости кривую y = f(x), являющуюся графиком одно-
значной дифференцируемой функции
f(x).
Определение 4. Говорят, что кривая обращена выпуклостью вверх
(выпуклостью вниз)
на интервале (a, b), если все точки кривой лежат ниже
(выше) любой ее касательной на этом интервале.
Кривую, обращенную выпуклостью вверх, будем называть
выпуклой,
а обращенную выпуклостью вниз –
вогнутой. На рис. 31 показана кривая,
выпуклая на интервале (
a, b) и вогнутая на интервале (b, c).
Рис. 31

Страницы