Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

84
Исследование функции на максимум и минимум
с помощью второй производной
Теорема 4 (о достаточных условиях экстремума).
Пусть
0
x
– подозрительная стационарная точка, то есть
0)(
0
=
′
xf
.
Пусть, кроме того, вторая производная )(
xf
′
′
существует и непрерывна в не-
которой окрестности точки
0
x и 0)(
0
≠
′
′
xf , тогда
0
x – точка экстремума,
причем, если 0)(
0
<
′′
xf , то
0
x – точка максимума, если 0)(
0
>
′′
xf , то
0
x –
точка минимума.
Замечание 5. В тех случаях, когда в критической точке вторая произ-
водная обращается в нуль или не существует, второй достаточный признак
существования экстремума, сформулированный в теореме 4, неприменим. В
этих случаях приходится пользоваться первым достаточным признаком, ос-
нованным на перемене знака первой производной.
Схему исследования функции на экстремум с помощью второй произ-
водной
можно изобразить в следующей таблице:
)(
0
xf
′
)(
0
xf
′
′
Характер
критической точки
0 – Точка максимума
0 + Точка минимума
0 0 Неизвестен
Пример 3. Исследовать на экстремум с помощью второй производной
функцию примера 2. В примере 2 рассматривалась функция
132
3
2
3
++−= xx
x
y .
Там же установлено, что точки
3,1
21
=
=
xx
являются критическими
точками. Находим вторую производную: 42
−
=
′
′
xy .
Так как 02412)1(
<
−
=−⋅=
′′
y , то в точке 1
1
=
x – максимум.
Так как 02432)3(
>=−⋅=
′′
y , то в точке 3
2
=
x – минимум.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда на этом от-
резке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения. При
этом они могут достигаться как во внутренних точках отрезка, так и на его
концах. Однако, если наибольшее (наименьшее) значение функции достига-
ется в какой-нибудь внутренней точке
0
x , то
0
x обязательно будет точкой
максимума (минимума). Следовательно, чтобы найти наибольшее и наи-
меньшее значения функции
f(x) на [a, b], нужно:
1) найти все точки максимума и минимума, лежащие в интервале (
a, b);

Страницы