Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

86
Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее
формы.
Установим признаки, по которым можно исследовать функцию
y=f(x)
на выпуклость и вогнутость на различных интервалах.
Теорема 5. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная
функции
f(x) отрицательна, то есть f
″
(x)<0, то кривая y=f(x) на этом интервале
выпукла, если же f
″
(x) >0 ∀ x∈(a, b), то кривая y=f(x) – вогнута на этом
интервале.
Определение 4. Точка
(
)
)(,
00
xfx
графика функции y=f(x), отделяющая
выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется
точкой пере-
гиба
кривой.
На рис. 31
А – точка перегиба. Очевидно, что в точке перегиба каса-
тельная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от
этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны – над нею.
Необходимые условия существования точек перегиба
Если
0
x – абсцисса точки перегиба графика функции y = f(x), то либо
f
″
(x
0
) = 0, либо f
″
(x
0
) не существует.
Определение 5. Точки, в которых вторая производная равна нулю или
не существует, называются
критическими точками II рода.
Точки перегиба кривой
y = f(x) надо искать только среди критических
точек II рода.
Достаточные условия существования точек перегиба
Пусть
0
x – критическая точка II рода. Точка (
0
x ,
0
y ) есть точка пере-
гиба линии
y=f(x), если f
″
(x) меняет знак при переходе х через
0
x .
Пример 5. Найти интервалы вогнутости, выпуклости и точки перегиба
кривой
122418
234
−+−+= xxxxy .
Решение. Найдем первую и вторую производные:
243634
23
+−+=
′
xxxy
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=−+=
′′
3
2
1236612
22
x
xxxy
, откуда y"(x)=0
при
2
3
,2
21
=−= xx (критические точки). Вторая производная конечна и су-
ществует при любом х
∈(- ∞, + ∞), поэтому других критических точек нет.
Следовательно, y
″ > 0 на интервалах (- ∞, -2) и (
2
3
,
∞); y″ < 0 на интер-
вале (-2,
2
3
). Знак второй производной определяет выпукла или вогнута кри-
вая в данном интервале. Полученные результаты сведем в таблицу.

Страницы