ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
90
8. Используя результаты исследования, построить график функции.
При необходимости уточнить отдельные участки кривой, вычислив коорди-
наты дополнительных точек.
Эскиз графика рекомендуется набрасывать уже после нахождения
асимптот, если они имеются. Основными ориентирами при построении гра-
фика функции являются точки кривой, соответствующие экстремальным зна-
чениям функции, точки перегиба, асимптоты.
Пример 8. Исследовать функцию
2
3
3
x
x
y
−
= и построить ее график.
Решение. 1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме
точек
3±=x .
2. Функция нечетная, так как
f(-x) = -f(x). Следовательно, ее график
симметричен относительно начала координат. На этом основании можно ог-
раничиться исследованием и построением графика только для 0
≤ х < + ∞.
Затем, пользуясь симметричностью, можно будет легко получить и осталь-
ную часть графика.
3. Функция имеет разрыв второго рода в точке
3=x
, причем
+∞=
−
−→
2
3
03
3
lim
x
x
x
, ∞−=
−
+→
2
3
03
3
lim
x
x
x
Следовательно, прямая
3=x является вертикальной асимптотой кривой.
4. Выясним вопрос об асимптотах.
а) Наличие вертикальной асимптоты
3=x уже установлено в п. 3.
б)
∞=
−
=
∞→∞→
2
3
3
limlim
x
x
y
xx
. Следовательно, горизонтальных асимптот нет.
в) Выясним существование наклонной асимптоты:
1
3
limlim
2
2
−=
−
==
+∞→+∞→
x
x
x
y
k
xx
,
[]
0
3
3
lim
3
lim)(lim
22
3
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=−−=
∞→∞→∞→
x
x
x
x
x
xyb
xxx
.
Следовательно, прямая
y=-x является наклонной асимптотой данной кривой.
Так как пределы найдены для
х → ∞ (то есть они одинаковы и при х → +∞, и
при
х → -∞), то к асимптоте y = -x график функции будет приближаться как
при удалении вправо, так и при удалении влево (см. рис. 35).
5. Определим интервалы возрастания, убывания функции и экстремум
функции. Находим первую производную:
22
2
22
42
22
322
)3(
)3)(3(
)3(
9
)3(
)2()3(3
x
xxx
x
xx
x
xxxx
y
−
+−
=
−
−
=
−
−⋅−−
=
′
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- …
- следующая ›
- последняя »
