Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

91
Приравниваем ее нулю:
0
)3(
)3)(3(
22
2
=
−
+−
x
xxx
, откуда 0)3)(3(
2
=+− xxx . По-
следнее имеет место при
х = -3, х = 0 и х = 3 (критические точки). Нам при-
дется исследовать на экстремум только точку
х = 3 (точку х = 0 на экстремум
не исследуем, так как она является крайней точкой области [0, +
∞) ). Знак
производной слева и справа от точки
х = 3, очевидно, будет зависеть от знака
числителя в выражении производной, так как знаменатель всегда положите-
лен. В окрестности точки
х=3 имеем y′>0 при х<3 и y′ < 0 при х > 3. Следова-
тельно, в точке
х = 3 функция имеет максимум и
2
1
4)3(
max
−=y . Если
)3,3()3,0( U∈x , то y′(x) > 0, то есть функция на этих интервалах возраста-
ет. Если ),3(
∞+∈
x
, то y′(x) < 0, то есть при х > 3 функция монотонно убывает.
В точке
3=x
, как отмечено в п. 3, функция имеет бесконечный разрыв.
6. Так как
y=0 только при х=0, то пересечение с осями координат про-
исходит только в начале координат.
7. Определим точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости
функции. Найдем
y″(х) :
32
2
)3(
)9(6
)(
x
xx
xy
−
+
=
′′
.
Мы видим, что
y″ = 0 только при х = 0 (критическая точка второго ро-
да). При этом в окрестности точки
х=0 будет y″ < 0 при х < 0 и y″ > 0 при х>0.
Следовательно, в начале координат кривая имеет перегиб (впрочем, наличие
перегиба в начале координат обнаружилось бы и после симметричного про-
должения графика налево от оси
OY). Направление вогнутости может изме-
ниться при переходе через разрыв кривой, поэтому следует выяснить знак
y″
и около точек разрыва функции. В данном случае
y″ > 0 на промежутке
)3,0(
и y″ < 0 на промежутке
),3( ∞+
. Следовательно, кривая вогнута на
)3,0( и выпукла на ),3( ∞+ .
Итак, исследуемая кривая характеризуется для
х ≥ 0 следующей таблицей:
x
0
),( 30
3 ),( 33
3
),(
∞
+3
y
′
0 + не существует + 0 –
y
″
0 + не существует – – –
y
0 Возрастает.
Кривая во-
гнута
Разрыв 2-го
рода
f
+∞=− )03(
f
−∞=+ )03(
Возрастает Максимум
2
1
4)3( −=y
Убывает
Кривая выпукла

Страницы