Высшая математика. Часть II. Самочернова Л.И. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

93
3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3.1. Неопределенный интеграл
3.1.1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы
его вычисления
Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
Как известно, основная задача дифференциального исчисления заклю-
чается в отыскании производной или дифференциала заданной функции.
Можно поставить обратную задачу: по данной функции
()
xf найти та-
кую функцию
()
xF , которая бы удовлетворяла условию
() ()
xfxF =
′
или
() ()
dxxfxdF =
. Отыскание функции по заданной её производной или диффе-
ренциалу и является одной из основных задач интегрального исчисления. За-
дачи восстановления функции по ее производной или дифференциалу часто
возникают в различных областях знания, например в геометрии, физике, ме-
ханике, а также в технике.
Определение 1. Функция
(
)
xF называется первообразной функцией
для функции
()
xf , если для любого
x
из области определения
()
xf выпол-
няется равенство
(
)()
xfxF =
′
или
(
)
(
)
dxxfxdF
=
.
Пример 1. Первообразной функцией для функции
(
)
2
3xxf = на
()
+
∞∞− ,
является функция
(
)
3
xxF = , так как
()
(
)
()
xfxxxF ==
′
=
′
23
3 . Возникает во-
прос: если данная функция имеет первообразную функцию, то единственна
ли эта первообразная? Оказывается, что первообразная у заданной функции
не одна. Так, для функции
()
2
3xxf = первообразной будет не только функ-
ция
()
3
xxF = , но и функция
(
)
1
3
1
+= xxF и
(
)
3
3
2
−= xxF и вообще всякая
функция вида Ф
()
Cxx +=
3
, где С – произвольное действительное число.
Указанное обстоятельство справедливо для любой функции
(
)
xf ,
имеющей первообразную. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Если в некотором (конечном или бесконечном, замкну-
том или нет) промежутке
X функция
(
)
xF есть первообразная для функ-
ции
()
xf , то и функция
()
CxF + , где С – любая постоянная, также будет
первообразной. Обратно, каждая функция, первообразная для
()
xf в проме-
жутке
X , может быть представлена в этой форме.
Из теоремы 1 следует, что любые две первообразные для одной и той
же функции могут отличаться друг от друга только на постоянное слагаемое.
Значит, если для данной функции
(
)
xf известна одна первообразная
()
xF , то
совокупность всех ее первообразных представляется выражением

Страницы